Wie komme ich von da jetzt auf f(t) = e^(α*t)

... irgendwie gar nicht. Ich hege den Verdacht, dass Du die linke Seite bereits integriert hast und dort ursprünglich mal 1/f stand, während Du rechts die Integration nicht gemacht hast, denn sonst müsste dort bereits etwas wie α·t + C stehen.