Zunächst:
Du sollst deine Eltern überzeugen und nicht überreden. Am besten schafft man das mit Argumenten und nicht mit Emotionen.
Mach's klassisch: Eine Pro- und Contra-Liste. Deine Bedenken gehören da auch rein! Und deinen Eltern gegenüber wirkt das auch viel glaubhafter, wenn du das Internatsleben nicht nur durch die rosa Brille siehst. Wenn du dir ein paar Dinge überlegt hast, dann bittest du deine Eltern, das zu ergänzen. Hier auf gutefrage.net findest du viele Fragen zu diesem Thema. Blätter die mal durch.
Mach unbedingt auch konkrete Vorschläge: Such dir drei Internate raus. Wenn sie nicht zu weit weg sind, könnt ihr bestimmt an einem Samstag mal einen Ausflug dort hin machen und euch die Schule (von einem Schüler!) zeigen lassen.
Was das Geld angeht: Da gibt es Finanzierungsmöglichkeiten. Du musst dir ja nicht gleich die allerteuerste Privatschule am anderen Ende von Deutschland raussuchen... Wenn du in der Schule die Kurve noch kriegst, dann kannst du dich ja auch um ein Stipendium bewerben. In den höheren Klassen gibt es dann (zumindest in Baden-Württemberg, wie es anderswo ist, weiß ich nicht) Schüler-Bafög.
Das Leben daheim geht übrigens auch weiter! Du bist doch alle 2 Wochen daheim. Und in den Ferien. Die Zeit mit der Familie erlebt man dann oft viel intensiver, weil sie nicht so selbstverständlich ist. Und telefonieren könnt ihr ja auch.
Zuletzt:
Ich halte eine Wenn-Dann-Abmachung für sinnvoll. Vereinbart eine Probezeit. Wenn du ab dem nächsten Schuljahr auf ein Internat gehst, und es sich bis zu den Herbstferien/ Winterferien/ Halbjahreszeugnissen als eine ganz dumme Entscheidung heraus gestellt hat, kommst du wieder heim. Zum Halbjahr dürfte der Wechsel kein Problem sein.