1) Eine Zahl z ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er Quersumme durch 7 teilbar ist. Die 3er Quersumme erhält man, in dem man bei der Zahl vom Komma beginnend von rechts nach links jeweils 3 Ziffern abteilt (abstreicht). Alternierend heißt, dass sich das Vorzeichen jeweils ändert.
Z.B. soll die Zahl z = 3 592 512. auf Teilbarkeit durch 7 untersucht werden. Man teilt die Zahl wie folgt: 3|592|512. Nun bildet man aus den Teilzahlen die alternierende Quersumme: AQ3(z) = 3 - 592 + 512 = -77.
Da -77 ohne Rest durch 7 teilbar ist (= -11) folgt daraus, dass z auch durch 7 teilbar ist, es gilt: 7|z. Bei sehr großen Zahlen kann man das Verfahren auch wiederholt durchführen.
2) Eine Zahl z ist auch dann durch 7 teilbar, wenn ihre Summanden alle einzeln durch 7 teilbar sind, in die sie zerlegt werden kann, z.B.:
3 738 = 3500 + 238 = 3 500 + 210 + 28. Alle Summanden (1. = 500; 2. = 30; 3. = 4) sind durch 7 teilbar also ist es auch z.
3) Man führt für die Zahl z eine Primfaktorzerlegung (PFZ) durch und mindestens ein Faktor ist 7 oder ein Vielfaches davon: 7^2 oder 7^3 ... . Z.B.:
149 688 = 8*18711= 8*11*1701 = 8*11*9*189 = 2^3*3^2*11*189 = 2^3*3^2*11*9*21 = 2^3*3^4*11*7*3 = 2^3*3^5*7*11. In diesem Beispiel wurden auch die Teilbarkeitregeln von 8, 11 und 9 angewandt. Da die Zahl 7 in der Zerlegung als Faktor 7 vorkommt, folgt daraus, dass auch z durch 7 teilbar sein muss.
