Hallo, vor einigen Tagen kam die folgende Aufgabenstellung:
Gesucht ist die Kreisgleichung für einen Kreis mit dem Radius r = 10 cm, der die Gerade
g: -3x + 4y = 28
im Punkt P (? / 4)
berührt. Ich hatte mir die Frage kopiert, sie aber nicht auf meinen Merkzettel geschoben. Das Problem habe ich inzwischen wie folgt durchgerechnet:
Zunächst muss der Punkt P ausgerechnet werden. Es wird davon ausgegangen, dass er auf der Geraden liegt, also muss er die Geradengleichung erfüllen:
-3x + 4y = 28
4y = 3x + 28
y = (3/4) *x + 7 ist die Geradengleichung
Gegeben ist y = 4. Wie groß ist der zugehörige x-Wert?
4 = (3/4) * x + 7
(3/4) * x = 4 - 7 = -3
x = -3 * 4/3 = -12/3 = - 4
Der Punkt P lautet also: P (-4 / 4)
Die allgemeine Kreisgleichung lautet:
(x - a)² + (y - b)² = r² = 100
a und b sind Unbekannte. Wir benötigen also 2 Gleichungen, um diese beiden Unbekannten auszurechnen!
Der Punkt P (-4 / 4) soll Teil des Kreises sein, also:
(-4 - a)² + (4 - b)² = 100
16 + 8a + a² + 16 - 8b + b² = 100
a² + 8a + b² - 8b = 100 - 32 = 68 (Gleichung 1)
Die 2. Gleichung wird durch die Steigung des Kreises am Punkt P ermittelt: Hier muss die Steigung gleich die der Geraden (Tangente) sein:
Ermitteln der 1. Ableitung der Kreisgleichung:
(x - a)² + (y - b)² = 100
(y - b)² = 100 - (x - a)²
y - b = +-Wurzel(100 - (x - a)²) = +-Wurzel(100 - x² + 2ax - a²)
y = b +-Wurzel(-x² + 2ax + 100 - a²)
dy/dx = dy/du * du/dx (Kettenregel)
Substitution: u = -x² + 2ax + 100 - a²
du/dx = -2x + 2a
y = b +-Wurzel(u) = b +-u^(1/2)
dy/du = +- (1/2) * u^(-1/2) = +- 1 / Wurzel( -x² + 2ax + 100 - a²)
dy/dx = +- (1/2) * u^(-1/2) * (-2x + 2a) = +- (-x + a) / Wurzel( -x² + 2ax + 100 - a²)
3/4 = +- (-x + a) / Wurzel( -x² + 2ax + 100 - a²) (Gleichung 2)
4 (-x + a) = +-3 * Wurzel( -x² + 2ax + 100 - a²)
-4x + 4a = +- 3 * Wurzel( -x² + 2ax + 100 - a²)
(-4x + 4a)² = 9 * ( -x² + 2ax + 100 - a²)
16x² - 32ax + 16a² = -9x² + 18ax + 900 - 9a²
25x² - 50 ax = 900 - 25a²
x² - 2ax = 36 - a²
x² - 2ax + a² = 36 - a² + a² = 36
(x - a)² = 36
x - a = +-Wurzel(36) = +-6
Einsetzen von x = -4 ergibt:
-4 - a = +-6 oder:
a = -4 -+6
a1 = -4 - 6 = -10
a2 = -4 + 6 = 2
Es gibt offensichtlich 2 Lösungen, da sich der Kreis unter oder über der Geraden befinden kann!
Ausrechnen von b:
Aus (x - a)² + (y - b)² = 100 für den Punkt P (-4 / 4) und a = 2 folgt:
a = 2:
(-4 - 2)² + (4 - b)² = 100
36 + (4 - b)² = 100
(4 - b)² = 100 - 36 = 64
4 - b = +-Wurzel(64) = +- 8
-b1,2 = -4 -+8
-b1 = -4 -8 = -12
b1 = 12
-b2 = -4 + 8 = 4
b2 = -4
a = -10
(x - a)² + (y - b)² = 100
(-4 + 10)² + (4 - b)² = 100
36 + (4 - b)² = 100 oder:
(4 - b)² = 100 - 36 = 64
gleiche Rechnung wie oben, also:
(x - 2)² + (y + 4 ) = 100 und
(x + 10)² + (y - 12)² = 100
heißen die Kreisgleichungen. Die Grafik bestätigt prinzipiell die Ergebnisse!
So weit so gut, aber: Woher weiß ich denn jetzt, wenn ich nur die Rechnung gemacht habe, welches a und welches b ich kombinieren soll? Die Grafik sagt, dass:
a = 2 und b = -4 zusammengehören, ebenso a = -10 und b = 12.
Weiß jemand Rat?