Ich habe lange gegrübelt, aber hier scheints hinzugehen. Beweisführung ist bei mir auch schon was her, daher hab ich den nicht. Aber Ne Erklärung hab ich schon.
Wir haben z.B. die Zahl 23 (Quersumme ist 5)
Laut der Formel also das hier (x0 und x1 etc. sind die Stellen der Zahl)
F(23) = f(3 + 20)
Das kann mann dann aufteilen, also in
F(23) = f(3) + f(20)
Nun ist f(20) aber noch zweistellig, daher ruft man die Funktion noch einmal für F(20) auf.
F(20) = f(2) + f(0) = 2
Da die Zahlen nur noch einstellig sind, ist die Funktion fertig.
Das wiederum kann man dann oben für f(20) einsetzen
-> F(23) = f(3) + f(2) = 5
Diese Formel gilt eben auch bei größeren Zahlen. Es geht eben nur darum, dass man die Zahl immer auf den kleinsten Bestantteil runterbricht. Das ganze geht stark in Richtung der Teilbarkeitsformeln:
http://www.fiveoclock.de/?page_id=309
Hier noch ein Beispiel für 7583
F(7583) = f(7) + f(50) + f(800) + f(3000)
F(7583) = f(7) + (f(5) + f(0)) + (f(8) + f(0) + f(0)) + (f(3) + f(0) + f(0) + f(0))
F(7583) = f(7) + (f(5) + (f(1) + f(0))) + (f(8) + f(0) + f(0)) + (f(3) + f(0) + f(0) + f(0))
F(7583) = 7+5+8+3