Nein AirPlay aus der Sky Go App ist derzeit nicht möglich. Das hat zum einen mit den Lizenzen aber auch mit der Politik von Sky zu tun. Um Sky Go auf den TV zu bringen benötigst du entweder ein Laptop oder eine Xbox 360. 

Anders sieht es übrigens bei Sky Online aus. Das unterstützt bei einem Großteil der Inhalt AirPlay.

Ist das eine Aufnahme eines HD Plus Kanals?

Wenn ja dann kann es sein, dass dein Aufnahme abgelaufen ist. Das liegt an den Restriktionen, die die Sender über die Schnittstelle einspielen können. Das bedeutet RTL usw. können bestimmen wie lange eine Aufnahme nutzbar ist bzw. ob überhaupt aufgenommen werden darf. Das ist möglich über CI Plus. 

Das zu umgehen wird nachträglich wohl kaum möglich sein, da die meisten TV Geräte ihre Aufzeichnungen verschlüsseln. Also solltest du in Zukunft die Sender in der freien SD Version aufnehmen oder einen speziellen Receiver kaufen, der diese Restriktionen umgehen kann.

Schau mal in den Einstellungen unter Mitteilungen -> Mail -> Gmail Konto und da kannst du einstellen, wie die Benachrichtigung aussehen soll. Es kann sein, dass deine Mails erst nach öffnen der App geladen werden, da Gmail meines Wissens nach kein Push hat .

Automatisch speichert das iPhone keine PDFs. Nur wenn du in iBooks öffnen wählst, wird das Dokument dauerhaft in der App iBooks gespeichert.