Du hast ja eine Funktion gegeben, zum Beispiel f(x)=x^4+4x^2. Bei einer Kurvendiskussion bildet man meistens 3 Ableitungen, die hier folgende wären:
f'(x)=4x^3+8x
f''(x)=12x+8
f'''(x)=12
Die erste Ableitung zeigt dir die Steigung der Funktion f. Die zweite Ableitung zeigt dir die Krümmung, und die dritte bildet man, um Wendepunkte zu verifizieren.
Für die Extrempunkte setzt die die erste Ableitung 0, weil du die Stellen herausfinden möchtest, bei den die Funktion f, die Steigung 0 hat und, da die erste Ableitung die Steigung angibt, setzen wir diese gleich 0:
Am gegebenen Beispiel:
4x^3+8x=0
Wir klammern x aus:
x(4x^2+8)=0
Dann setzen wir beide Teile gleich 0:
x1=0
4x^2+8=0
Hier erhalten wir keine Lösung.
Dadurch haben wir eine Stelle gefunden, an der f die Steigung 0 hat. Nun wollen wir aber auch wissen, ob es Hoch oder Tiefpunkte sind. Dafür setzen wir die 0 und die -2 in die zweite Ableitung ein. Sollte das Ergebnis positiv sein, ist es ein Tiefpunkt, ist es negativ, ist es ein Hochpunkt. Wenn das Ergebnis 0 ist, ist es womöglich ein Sattelpunkt.
Nun setzen wir den Wert in die zweite Ableitung ein:
f''(x)=12x+8
f''(0)=8
Um den Extrempunkt dann als Punkt angeben zu können darf man hier auf keinen Fall die 8 als y-wert angeben, da das falsch wäre. Um den y-wert für den Hochpunkt zu erhalten setzen wir ihn in die Ausgangsfunktion f ein:
f(x)=x^4+4x^2
f(0)=0 -> ein Tiefpunkt, bei (0|0)