Hallo!
Dazu füllst du einen Vordruck zum Thema Umzug aus. Darin begründest du dein Umzugsbegehren, in deinem Fall ziehst du mit dem Kindsvater zusammen und somit ist das ein wichtiger Grund.
Wichtig ist ebenfalls, dass die Wohnung angemessen ist! (Bruttokaltmiete + Heizkosten)
Diese sind in jedem Landkreis verschieden, informiere dich da bitte bei deinem zuständigen Jobcenter!
Stimmt das Jobcenter deinem Umzug zu (was es wahrscheinlich wird, da du einen wichtigen Grund hast) übernimmt es Kaution + Umzugskosten.
Bitte erst die Genehmigung vom Jobcenter einholen, bevor du mit im Mietvertrag stehst und dort einziehst.
Ansonsten kann dein Mietanteil nicht vollständig übernommen werden.
Bekommst du nämlich keine Genehmigung, werden dir nur deine alten Kosten der Unterkunft übernommen, es sei denn, dein neuer Mietanteil ist günstiger.