Die allgemeine Formel solltest du denke ich kennen und falls dein Problem ist, dass dir die Höhe der Pyramide fehlt, probier es mal mit dem Satz des Pythagoras.

Hier fehlt womöglich ein grundlegendes Verständnis davon, was Steigung überhaupt bedeutet:

Die Steigung gibt dir im Falle einer Geraden an, um wie viele y-Werte deine Gerade zunimmt, wenn du in x-Richtung einen Schritt der Länge 1 nach rechts machst.

In deinem Beispiel würde man zum Beispiel für x = 0 bei y = 1,5 * 0 + 3 = 3 landen und für x = 1 bei y = 1,5 * 1 + 3 = 4,5.

Dein y-Wert hat also um 1,5 zugenommen, als du einen Schritt der Länge 1 nach rechts gemacht hast.

Da es sich ja um eine Gerade handelt, ist es völlig egal von wo aus du den Schritt machst, da sie ja immer gleichmäßig steigt. Die Steigung deiner Gerade ist also überall 1,5.

Es ist natürlich kein Zufall, dass 1,5 auch die Zahl ist, die in deiner Geradengleichung vor dem x steht. Wenn man einfach mal zwei allgemeine Start- und Endpunkte x_1 und x_2 mit Abstand x_2 - x_1 = 1 ansetzt, dann sieht man schnell, dass:

y(x_2) - y(x_1) = (1,5 * x_2 + 3) - (1,5 * x_1 + 3) = 1,5 * (x_2 - x_1) + 3 - 3 = 1,5 * (x_2 - x_1) = 1,5 * 1 = 1,5

Allgemein ist für eine Gerade der Form y = m*x + c also einfach m die Steigung. (Kannst es ja mal versuchen mit der allgemeinen Formel nachzurechnen, falls es beim Verständnis hilft)

Zunächst mal ist √(x²) eigentlich |x| (Betrag von x) per Definition. Ansonsten gibt es keine Regel o.Ä. mit der man den Ausdruck √(x² + y²) "vereinfachen" könnte.

Das braucht bzw. macht man häufig beim Lösen von quadratischen Gleichungen, sonst wüsste ich nicht, dass Aufgaben bei denen man eine Wurzel ziehen muss einen bestimmten Namen haben.

Vielleicht interessiert dich aber warum man das "+/-" hier braucht:

Stell dir vor du weißt nur, dass das Quadrat einer Zahl x 9 ist.

Sowohl (-3)^2 als auch 3^2 ergeben 9.

Da wir sonst nichts weiter über die Zahl x wissen, könnte sie also -3 oder 3 sein.

Das drücken wir damit aus, dass wir x = +/- 3 schreiben.

Wir suchen die Gesamtstrecke, die Familie Sommer auf ihrem Weg in den Urlaub zurück gelegt hat, bzw. zurücklegen wird. Da wir sie noch nicht kennen, nennen wir sie erstmal einfach x.

Wir wissen, dass die Familie am ersten Tag die Hälfte der Gesamtstrecke zurückgelegt hat. Das ist dementsprechend die Hälfte von x (denn x ist ja die Gesamtstrecke), also x/2.

Als Melissa feststellt, dass nur noch ein Drittel der Gesamtstrecke übrig ist, hat die Familie natürlich bereits zwei Drittel der Gesamtstrecke zurückgelegt. Das entspricht also 2/3 * x = 2x/3.

Wir wissen außerdem, dass die Familie am zweiten Tag bereits 145 km gefahren ist, als Melissa diese Feststellung macht. (Die 145 km beziehen sich hierbei natürlich nur auf die Strecke, die am 2. Tag zurückgelegt wurde und beinhalten nicht(!) die Strecke die am ersten Tag zurückgelegt wurde.)

Insgesamt wissen wir nun also, dass die Stecke des ersten Tages (x/2) plus die 145 km des zweiten Tages zusammen zwei Drittel der gesamten Strecke (2x/3) ergeben.

Das müssen wir jetzt nur noch als Gleichung schreiben:

x/2 + 145 km = 2x/3

Diese können wir jetzt ganz einfach nach x auflösen:

x/2 + 145 km = 2x/3 | * 2 auf beiden Seiten (um den nervigen Bruch auf der linken Seite wegzubekommen)

x + 290 km = 4x/3 | * 3 auf beiden Seiten (um den nervigen Bruch auf der rechten Seite wegzubekommen)

3x + 870 km = 4x | -3x auf beiden Seiten

870 km = 1x

x = 870 km

Und schon haben wir das Ergebnis: die Gesamtstrecke (x) beträgt 870 km.

(Man könnte natürlich beim Lösen der Gleichung auch sofort mit 6 multiplizieren, statt erst mit 2 und dann mit 3, aber ich dachte so ist es vielleicht etwas verständlicher.)

Bei weiteren Fragen bitte einfach antworten.

Ich sehe außerdem, dass du schon mehrere Fragen zum Thema Gleichungen aufstellen gepostet hast. Es ist für die Zukunft (in Mathematik) wichtig das gut zu verstehen, also versuch bitte wirklich die Aufgaben selbst zu lösen bzw. konkrete Fragen zu Problemen zu stellen, die du dabei hast, anstatt einfach nur nach Lösungen für diese Aufgaben zu fragen.

Du hast zwar geschrieben, dass du die Aufgabe deiner Meinung nach bereits gelöst hast, aber ich möchte trotzdem nochmal kurz was dazu sagen.

Koordinatenpunkte haben KEINE Schnittpunkte.

Zeichne mal vier Punkte auf ein Blatt Papier. Jetzt hast du 4 Punkte. Schneiden die sich irgendwo? Natürlich nicht, es sind schließlich einzelne Punkte.

Schnittpunkte kann es nur zwischen Geraden, oder Geraden und Ebenen etc. geben. Die Aufgabenstellung kann daher gar nicht sein, den "Schnittpunkt von 4 Koordinaten" zu berechnen.

Wenn du jetzt also, wie es in deiner einer Antworten heißt, einfach wild irgendwelche Werte in die Formel "y1-y2/x1-x2" rein haust, mit der Begründung "So haben wir das immer gemacht.", dann hilft dir das leider kein bisschen dabei weiter, wirklich zu verstehen wie man die Aufgabe löst.

Wenn dir nichts daran liegt, wirklich zu verstehen wie man auf das Ergebnis kommt, ist das natürlich deine Sache, aber gerade bei Mathematik kommt man (auch Notentechnisch) viel weiter, wenn man nicht einfach nur blind Werte in Formeln einsetzt, sondern wirklich versteht warum man das tut und wo diese Formeln her kommen. Dann kann man sich nämlich im Notfall auch selbst so eine Formel herleiten, statt sie auswendig zu lernen oder nachschlagen zu müssen.

Das ist schwer zu sagen. Vier Aufgaben sind natürlich nicht übermäßig viel, aber wenn du denkst das Thema bereits verstanden zu haben und die Aufgaben ohne Probleme lösen kannst, dann könnte das wohl auch ausreichen. Letztendlich schadet es natürlich nicht sich auch die Vorlesungen anzuschauen bzw. zu lernen. Falls in deiner Prüfung auch genaue Definitionen/Sätze oder ähnliches gefragt werden, dann empfiehlt es sich sicherlich auch diese zu können. Am Ende musst du entscheiden wie viel Zeit du fürs Lernen aufwänden möchtest, bzw. wie viel Zeit dir noch bis zur Prüfung bleibt und welche Note du dir am Ende erhoffst.

1 Milliardstel mm sind 10^(-9) mm. Ein nm sind 10^(-6) mm. 1 Milliardstel mm sind also 10^(-3) nm bzw. 0,001 nm.

So was kann man aber auch ganz einfach bei Google eingeben:

https://www.google.com/search?q=10+hoch+-9+millimeter+in+nanometer

Die Planeten sehen genauso aus wie du es eigentlich schon beschrieben hast: Wie (helle) Sterne. Mit einem einfachen Teleskop lässt sich Jupiter z.B. schon vage als "Scheibe" erkennen, im Gegensatz zu echten Sternen, die nur wie Punkte aussehen. Mit einem guten Teleskop kann man natürlich auch noch mehr erkennen, wie z.B. die Ringe des Saturn. Die von dir genannten Planeten kann man bei klarer Nacht (und natürlich unter der Vorraussetung, dass sie überhaupt über dem Horizont stehen) fast alle am Himmel sehen. Venus ist dabei der hellste aller Planeten, danach folgen normalerweise Jupiter und Saturn. Mars ist schon nicht mehr so hell, leuchtet dafür aber schön charakteristisch rot/orange. Merkur habe ich persönlich noch nie gesehen, aber möglich sein sollte das auch. Er ist nur nicht so hell wie die oben genannten und außerdem nah an der Sonne, weshalb er nur bei Morgen- oder Abenddämmerung zu sehen ist.

(Diese Antwort basiert großteils auf eigenen Erfahrungen, also falls jemand das ein oder andere mit Fakten ergänzen/korrigieren möchte, gerne.)

Dazu verwendest du am besten den Zusammenhang:

2*sin(x)*cos(x) = sin(2x)

Formeln dieser Art lassen sich zum Beispiel durch die komplexe e-Funktion und deren Zusammenhang mit Sinus und Kosinus herleiten, oder können auch einfach hier nachgelesen werden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie

Wie man die Nullstellen von sin(2x) findet, muss ich denke ich nicht erklären, ansonsten frag einfach nochmal nach.

Alternativ kannst du natürlich auch einfach die Nullstellen von sin(x) und cos(x) angeben, da die Funktion f ja einfach 2 mal das Produkt der beiden ist und somit immer dann 0 wird, wenn einer der beiden Terme 0 wird.

Höchstwahrscheinlich das Binärsystem:

https://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem

Natürlich kommen die Ziffern 0 und 1 auch in jedem anderen beliebigen System vor, weshalb man das auf Basis eines Zahlen-Beispiels nicht zu 100 % sagen kann. 01101111 könnte zum Beispiel auch ganz einfach die Zahl 1101111 im normalen Dezimalsystem sein.

Also damit rumlaufen kannst du schon, ich glaub wie dein Taschenrechner aussieht interessiert wirklich niemanden. Aber schön ist das auf jeden Fall nicht :D

Folgender Beweis zeigt, dass dies nicht möglich ist:

Sei k eine beliebige natürliche Zahl, deren Wurzel gerade ist.

Dann existiert also eine natürliche Zahl n für die gilt: Wurzel(k) = 2n.

Nun können wir durch quadrieren auf beiden Seiten folgern, dass k = 4*n^2 ist.

Das heißt also k = 4*n^2 = (2n) * (2n) = (2n)^2. Somit ist k also eine Quadratzahl.

Also das bedeutet an sich überhaupts nichts, weil einfach nur "Wasser" keine Angabe über das Volumen oder die Menge des Wassers macht. Falls es sich um ein Achtel eines Liters handeln sollte, steht ja die Antwort schon hier, ansonsten ist es halt einfach die Menge des gesamten Wassers geteilt durch 8.

18 ist nicht a), sondern b), da du mit Polarkoordinaten ein "r*dφ" ins Integral bekommst.

Für die 19 bietet es sich an, deine Funktion und dein Integral ebenfalls in Polarkoordinaten zu transformieren.

Damit erhälst du:

x = r * cos(φ)

y = r * sin(φ)

dx dy = r dφ dr

Damit folgt für den Integrand:

xy^2 = r * cos(φ) * (r * sin(φ))^2 = r^3 * cos(φ) * sin^2(φ)

Damit erhälst du dann ein Integral wie in der a), das du ausrechnen kannst.

Also zunächst mal hast du links unten einen Rechenfehler. Du hast nämlich vergessen das y noch durch 4 zu teilen.

Das ist aber nicht dein einziges Problem. Wenn du diesen Fehler nämlich korrigierst und dann nochmal das gleiche versuchst, was du auf der rechten Seite gemacht hast, dann wirst du feststellen, dass da einfach 0 = 0 rauskommt. Du kannst nämlich nicht einfach eine Gleichung umstellen und das Ergebnis dann wieder in die selbe Gleichung einsetzen. Bzw. das kannst du natürlich schon, aber es bringt dir nichts.

Du hast hier nämlich gar kein lineares Gleichungssystem. Das steht ja auch in der Aufgabenstellung: "Stelle den Text durch EINE lineare Gleichung mit zwei Variablen dar!".

Die Gleichung hast du ja bereits gefunden. Jetzt sollst du bei Aufgabe 2 wohl nur noch 3 beliebige Lösungen angeben. Dazu musst du einfach 3 beliebige Werte für x oder y einsetzen und eben jeweils nach der anderen Variable auflösen.

Die Gleichung hat ganz einfach keine reelle Lösung. Das sieht man entweder, wie du schon selbst sagst, daran, dass der ln für negative Zahlen nicht definiert ist, oder schon direkt am Anfang daran, dass e^x für alle x größer 0 ist und somit eine negative Zahl mal e^irgendwas nicht positiv sein kann.

Mikrosievert, ja.

Na die c) sagt dir doch, dass die Masse nicht von Bedeutung ist. Somit brauchst du bei der Aufgabe m auch gar nicht.

Deine Verwirrung liegt wohl darin, dass du die Werte für die Energien gerne explizit ausrechnen würdest. Das geht aber natürlich nicht, denn dafür braucht man sehr wohl die Masse. Du musst also zuerst Gleichungen aufstellen und umstellen um die gewünschten Größen zu erhalten:

Nennen wir mal v_E die Geschwindigkeit am Ende der Schanze. Dazu nennen wir E_kin,E und E_pot,E die kinetische und potentielle Energie am Ende der Schanze.

Dann gilt natürlich:

E_kin,E = 1/2 * m * v_E^2

E_pot,E = m * g * h_E

wobei h_E die Höhe der Schanze über dem niedrigsten Punkt der Bahn ist, so wie eingezeichnet. h_E ist also 2 m.

Wie du in deiner Frage schon sagst, geht es hier um Energieerhaltung. Die besagt uns in diesem Fall, dass die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie zu jedem Zeitpunkt gleich sein muss, da diese ja nur in einander umgewandelt werden und somit die Gesamtenergie im System immer gleich bleibt.

Das heißt auch am Anfang der Bahn, also auf dem Hügel links muss die Summe der beiden Energien gleich sein. Diese nennen wir hier E_kin,A und E_pot,A. Es gilt hier:

E_kin,A = 0 (denn auf dem Hügel steht der Springer ja noch still)

E_pot,A = m * g * h_A

wobei h_A die Höhe auf dem Hügel ist, die wir ja suchen. Diese ist natürlich auch wieder relativ zum niedrigsten Punkt der Bahn so wie auch schon h_E.

Nun sollen die Summen der Energien am Anfang und am Ende gleich sein. Also:

E_kin,A + E_pot,A = E_kin,E + E_pot,E

0 + m * g * h_A = 1/2 * m * v_E^2 + m * g * h_E

Wie du jetzt siehst kann man m auf beiden Seiten der Gleichung einfach rausteilen. Die Masse spielt also für das Ergebnis keine Rolle. Nun müssen wir nur noch nach h_A auflösen:

g * h_A = 1/2 * v_E^2 + g * h_E

h_A = 1/g * (1/2 * v_E^2 + g * h_E) = v_E^2 / (2g) + h_E.

v_E und h_E kennst du ja schon aus der Angabe.

Da du nun h_E kennst, kennst du auch die potentielle Energie auf dem Hügel links. Diese ist im tiefsten Punkt der Bahn (wie auch unten in diesem Diagramm eingezeichnet) komplett in kinetische Energie umgewandelt worden. Du kennst also die kinetische Energie im tiefsten Punkt. Damit kannst du natürlich ganz leicht auch die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt ausrechnen. (Auch hier muss man erstmal die Gleichungen aufstellen, damit sich das m wieder rauskürzen lässt).

Das ist eine Uni Aufgabe?

Du brauchst dazu eigentlich nur die Formel s = 1/2 * a * t^2 für Bewegungen mit konstanter Beschleunigung.

s ist die bei konstanter Beschleunigung a zurückgelegte Strecke nach der Zeit t.

Diese Formel lässt sich also nach t umstellen um eine Formel für die Zeit zu bekommen, wenn du die Strecke und die Beschleunigung kennst:

s = 1/2 * a * t^2

2s/a = t^2

t = Wurzel(2s/a)

Die Masse des Geschenks spielt hier also gar keine Rolle. Die Beschleunigung a ist natürlich die Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s^2:

t = Wurzel(2s/g)

Da du jetzt die Zeit kennst, kannst du nun auch noch mit der Formel v = a * t die Geschwindigkeit v nach der Zeit t bei konstanter Beschleunigung a berechnen:

v = a * t = g * t = g * Wurzel(2s/g) = Wurzel(2s*g)