Hier fehlt womöglich ein grundlegendes Verständnis davon, was Steigung überhaupt bedeutet:

Die Steigung gibt dir im Falle einer Geraden an, um wie viele y-Werte deine Gerade zunimmt, wenn du in x-Richtung einen Schritt der Länge 1 nach rechts machst.

In deinem Beispiel würde man zum Beispiel für x = 0 bei y = 1,5 * 0 + 3 = 3 landen und für x = 1 bei y = 1,5 * 1 + 3 = 4,5.

Dein y-Wert hat also um 1,5 zugenommen, als du einen Schritt der Länge 1 nach rechts gemacht hast.

Da es sich ja um eine Gerade handelt, ist es völlig egal von wo aus du den Schritt machst, da sie ja immer gleichmäßig steigt. Die Steigung deiner Gerade ist also überall 1,5.

Es ist natürlich kein Zufall, dass 1,5 auch die Zahl ist, die in deiner Geradengleichung vor dem x steht. Wenn man einfach mal zwei allgemeine Start- und Endpunkte x_1 und x_2 mit Abstand x_2 - x_1 = 1 ansetzt, dann sieht man schnell, dass:

y(x_2) - y(x_1) = (1,5 * x_2 + 3) - (1,5 * x_1 + 3) = 1,5 * (x_2 - x_1) + 3 - 3 = 1,5 * (x_2 - x_1) = 1,5 * 1 = 1,5

Allgemein ist für eine Gerade der Form y = m*x + c also einfach m die Steigung. (Kannst es ja mal versuchen mit der allgemeinen Formel nachzurechnen, falls es beim Verständnis hilft)

Wir suchen die Gesamtstrecke, die Familie Sommer auf ihrem Weg in den Urlaub zurück gelegt hat, bzw. zurücklegen wird. Da wir sie noch nicht kennen, nennen wir sie erstmal einfach x.

Wir wissen, dass die Familie am ersten Tag die Hälfte der Gesamtstrecke zurückgelegt hat. Das ist dementsprechend die Hälfte von x (denn x ist ja die Gesamtstrecke), also x/2.

Als Melissa feststellt, dass nur noch ein Drittel der Gesamtstrecke übrig ist, hat die Familie natürlich bereits zwei Drittel der Gesamtstrecke zurückgelegt. Das entspricht also 2/3 * x = 2x/3.

Wir wissen außerdem, dass die Familie am zweiten Tag bereits 145 km gefahren ist, als Melissa diese Feststellung macht. (Die 145 km beziehen sich hierbei natürlich nur auf die Strecke, die am 2. Tag zurückgelegt wurde und beinhalten nicht(!) die Strecke die am ersten Tag zurückgelegt wurde.)

Insgesamt wissen wir nun also, dass die Stecke des ersten Tages (x/2) plus die 145 km des zweiten Tages zusammen zwei Drittel der gesamten Strecke (2x/3) ergeben.

Das müssen wir jetzt nur noch als Gleichung schreiben:

x/2 + 145 km = 2x/3

Diese können wir jetzt ganz einfach nach x auflösen:

x/2 + 145 km = 2x/3 | * 2 auf beiden Seiten (um den nervigen Bruch auf der linken Seite wegzubekommen)

x + 290 km = 4x/3 | * 3 auf beiden Seiten (um den nervigen Bruch auf der rechten Seite wegzubekommen)

3x + 870 km = 4x | -3x auf beiden Seiten

870 km = 1x

x = 870 km

Und schon haben wir das Ergebnis: die Gesamtstrecke (x) beträgt 870 km.

(Man könnte natürlich beim Lösen der Gleichung auch sofort mit 6 multiplizieren, statt erst mit 2 und dann mit 3, aber ich dachte so ist es vielleicht etwas verständlicher.)

Bei weiteren Fragen bitte einfach antworten.

Ich sehe außerdem, dass du schon mehrere Fragen zum Thema Gleichungen aufstellen gepostet hast. Es ist für die Zukunft (in Mathematik) wichtig das gut zu verstehen, also versuch bitte wirklich die Aufgaben selbst zu lösen bzw. konkrete Fragen zu Problemen zu stellen, die du dabei hast, anstatt einfach nur nach Lösungen für diese Aufgaben zu fragen.

Du hast zwar geschrieben, dass du die Aufgabe deiner Meinung nach bereits gelöst hast, aber ich möchte trotzdem nochmal kurz was dazu sagen.

Koordinatenpunkte haben KEINE Schnittpunkte.

Zeichne mal vier Punkte auf ein Blatt Papier. Jetzt hast du 4 Punkte. Schneiden die sich irgendwo? Natürlich nicht, es sind schließlich einzelne Punkte.

Schnittpunkte kann es nur zwischen Geraden, oder Geraden und Ebenen etc. geben. Die Aufgabenstellung kann daher gar nicht sein, den "Schnittpunkt von 4 Koordinaten" zu berechnen.

Wenn du jetzt also, wie es in deiner einer Antworten heißt, einfach wild irgendwelche Werte in die Formel "y1-y2/x1-x2" rein haust, mit der Begründung "So haben wir das immer gemacht.", dann hilft dir das leider kein bisschen dabei weiter, wirklich zu verstehen wie man die Aufgabe löst.

Wenn dir nichts daran liegt, wirklich zu verstehen wie man auf das Ergebnis kommt, ist das natürlich deine Sache, aber gerade bei Mathematik kommt man (auch Notentechnisch) viel weiter, wenn man nicht einfach nur blind Werte in Formeln einsetzt, sondern wirklich versteht warum man das tut und wo diese Formeln her kommen. Dann kann man sich nämlich im Notfall auch selbst so eine Formel herleiten, statt sie auswendig zu lernen oder nachschlagen zu müssen.

Also das bedeutet an sich überhaupts nichts, weil einfach nur "Wasser" keine Angabe über das Volumen oder die Menge des Wassers macht. Falls es sich um ein Achtel eines Liters handeln sollte, steht ja die Antwort schon hier, ansonsten ist es halt einfach die Menge des gesamten Wassers geteilt durch 8.

Na die c) sagt dir doch, dass die Masse nicht von Bedeutung ist. Somit brauchst du bei der Aufgabe m auch gar nicht.

Deine Verwirrung liegt wohl darin, dass du die Werte für die Energien gerne explizit ausrechnen würdest. Das geht aber natürlich nicht, denn dafür braucht man sehr wohl die Masse. Du musst also zuerst Gleichungen aufstellen und umstellen um die gewünschten Größen zu erhalten:

Nennen wir mal v_E die Geschwindigkeit am Ende der Schanze. Dazu nennen wir E_kin,E und E_pot,E die kinetische und potentielle Energie am Ende der Schanze.

Dann gilt natürlich:

E_kin,E = 1/2 * m * v_E^2

E_pot,E = m * g * h_E

wobei h_E die Höhe der Schanze über dem niedrigsten Punkt der Bahn ist, so wie eingezeichnet. h_E ist also 2 m.

Wie du in deiner Frage schon sagst, geht es hier um Energieerhaltung. Die besagt uns in diesem Fall, dass die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie zu jedem Zeitpunkt gleich sein muss, da diese ja nur in einander umgewandelt werden und somit die Gesamtenergie im System immer gleich bleibt.

Das heißt auch am Anfang der Bahn, also auf dem Hügel links muss die Summe der beiden Energien gleich sein. Diese nennen wir hier E_kin,A und E_pot,A. Es gilt hier:

E_kin,A = 0 (denn auf dem Hügel steht der Springer ja noch still)

E_pot,A = m * g * h_A

wobei h_A die Höhe auf dem Hügel ist, die wir ja suchen. Diese ist natürlich auch wieder relativ zum niedrigsten Punkt der Bahn so wie auch schon h_E.

Nun sollen die Summen der Energien am Anfang und am Ende gleich sein. Also:

E_kin,A + E_pot,A = E_kin,E + E_pot,E

0 + m * g * h_A = 1/2 * m * v_E^2 + m * g * h_E

Wie du jetzt siehst kann man m auf beiden Seiten der Gleichung einfach rausteilen. Die Masse spielt also für das Ergebnis keine Rolle. Nun müssen wir nur noch nach h_A auflösen:

g * h_A = 1/2 * v_E^2 + g * h_E

h_A = 1/g * (1/2 * v_E^2 + g * h_E) = v_E^2 / (2g) + h_E.

v_E und h_E kennst du ja schon aus der Angabe.

Da du nun h_E kennst, kennst du auch die potentielle Energie auf dem Hügel links. Diese ist im tiefsten Punkt der Bahn (wie auch unten in diesem Diagramm eingezeichnet) komplett in kinetische Energie umgewandelt worden. Du kennst also die kinetische Energie im tiefsten Punkt. Damit kannst du natürlich ganz leicht auch die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt ausrechnen. (Auch hier muss man erstmal die Gleichungen aufstellen, damit sich das m wieder rauskürzen lässt).

Eine ganzrationale Funktion hat höchstens so viele reelle (!) Nullstellen, wie ihr Grad. Also nein, eine ganzrationale Funktion hat definitiv nicht immer 4 Nullstellen. f(x) = x^2 + 1 hat zum Beispiel gar keine reellen Nullstellen. f(x) = x^2 hat genau eine und f(x) = x^2 - 1 hat zwei Nullstellen. Man kann sich allerdings überlegen, dass eine ganzrationale Funktion mit ungeradem Grad immer mindestens 1 reelle Nullstelle haben muss, da sie ja von -∞ bis +∞ oder umgekehrt geht und deshalb ja irgendwann mal die x-Achse schneiden muss.

Die Tangente an einen Funktionsgraph hat am Berührungspunkt immer genau die Steigung der Funktion an diesem Punkt.

Wenn die Tangente waagrecht sein soll, hat sie die Steigung 0. Somit hat auch die Funktion am Berührungspunkt die Steigung 0. Du musst also herausfinden, ob die Funktion einen (oder mehrere?) Punkt(e) hat, wo die Steigung 0 ist.

Wenn man herausfinden möchte wo eine Funktion die Steigung 0 hat, muss man natürlich rausfinden, wo die Ableitung der Funktion 0 wird. Du suchst also letztendlich die Nullstellen der Ableitung von h.

Falls welche existieren, gibt es eine waagrechte Tangente, sonst eben nicht.

Na du kannst natürlich nicht einfach einen Teil des Ausdruckes substituieren und den Rest einfach stehen lassen, wenn er immer noch von der ursprünglichen Variable abhängt. Dein Problem ist also an der Stelle, wo du t zum ersten mal ins Integral schreibst, aber immer noch Ausdrücke drin stehen hast, die von x abhängen. Die müsstest du dann auch noch alle so umschreiben, dass da kein x sondern nur noch t vorkommt. Deshalb kannst du die dann auch nicht einfach vor's Integral ziehen und so tun als würde es nicht mehr von diesen x Ausdrücken abhängen.

Ich glaube aber sowieso, dass substituieren hier gar nicht zum Ziel führt. Versuch es lieber mal mit Partialbruchzerlegung, wenn du diese schon kennst.

Eine Mondlandung vielleicht?

Spaß beiseite, das neutrale Atom hat natürlich gar keine Ladung, denn es ist ja neutral. Gibt man jetzt ein weiteres Elektron dazu, dann kommt natürlich genau die Ladung des Elektrons dazu. Dieses hat die Ladung -e, wobei e die Elementarladung ist. Das Atom hat also jetzt die Ladung 0 + (-e) = -e.

Das war's auch schon.

Anzahl Dreiecke: D

Anzahl Vierecke: V

Anzahl Sechsecke: S

Gesamtanzahl der Figuren ist 20, also:

I. D + V + S = 20

Sollte eigentlich auch relativ klar sein:

II. D + V = S + 2

Für die letzte Gleichung wird es etwas kniffliger. Hier muss man drauf kommen, dass man aus den Dreiecken natürlich jeweils 3 Ecken bekommt, aus den Vierecken jeweils 4 Ecken und aus den Sechsecken jeweils 6 Ecken. Das heißt man hat insgesamt 3*D + 4*V + 6*S Ecken. Es sollen insgesamt 93 Ecken sein, also:

III. 3*D + 4*V + 6*S = 93

Ziehe mal die obere Linie vom 15 cm Maß weiter nach links bis sie das "linke Pendel" schneidet. Dann stellst du fest, dass du oben ein rechtwinkliges Dreieck hast, dessen Hypothenuse das "rechte Pendel" ist. Diese hat also die Länge l. Die untere Seite des Dreiecks hat logischerweise einfach die angegebene Länge von 50 cm. Die linke Seite hat dann noch die Länge l - 15 cm. Damit hast du jetzt für alle 3 Seitenlängen des Dreiecks eine Formel. Diese Formeln kannst du dann in den Satz des Pythagoras einsetzen und nach l auflösen. Dann kennst du die Länge des Pendels.

In die Deformierung des Tonklumpens würde ich sagen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Verformungsenergie

Volumen berechnen, indem du das Volumen von dem Würfel und von der Pyramide berechnest und addierst. Die Masse bzw. das Gewicht bekommst du dann über die angegebene Dichte am linken Rand.

Leider nicht ganz richtig, außerdem musst du UNBEDINGT darauf aufpassen wie du das richtig aufschreibst. Du kannst nicht einfach ein "=" zwischen die Funktion selbst und ihre Ableitung setzen. Die Funktion ist ja nicht gleich ihre Ableitung.

Zunächst mal hast du die Funktion richtig umgeschrieben.

f(x) = 3x^(-4) - x^(-6)

ist also richtig.

Jetzt wichtig: Neue Zeile anfangen mit

f'(x) = ...

und nicht einfach mit "=" weiter machen.

So jetzt zur Ableitung selbst. Du hast das schon fast richtig gemacht, allerdings muss der Exponent ja um 1 KLEINER werden und nicht größer. Die Verwirrung kommt wahrscheinlich wegen dem Minuszeichen. Normalerweise ist es ja so, dass die Ableitung von x^5 gleich 5x^4 ist. Da wird aus der 5 ne 4. Das ist auch richtig so, da die 4 ja um eins kleiner ist als die 5.

Steht da aber jetzt x^(-5), dann ist die Zahl die um 1 kleiner ist als -5 ja -6 und nicht -4. Die Ableitung von x^(-5) wäre also -5x^(-6)

Zwei alternative Lösungswege, wovon einer vielleicht intuitiver ist als der andere, die aber natürlich beide zum selben Ergebnis führen:

Erste Variante:

Wir leiten uns eine Formel her, mit der wir die Geschwindigkeit des Steins in der Höhe h berechnen können. Dann können wir nämlich

E_kin(h) = 1/2 * m * v(h)^2

und E_pot(h) = m * g * h

gleichsetzen und nach h auflösen.

Da es sich um einen freien Fall handelt, wird der Stein konstant mit der Erdbeschleunigung g beschleunigt. Es gilt also:

v = g * t

(normalerweise kennt man diese Formel natürlich als v = a * t aber in diesem Fall ist a = g ja die Erdbeschleunigung)

Nun kennen wir allerdings t nicht. Wir benötigen also noch eine zweite Formel die man für konstante Beschleunigungen oft braucht:

s = 1/2 * g * t^2

(auch diese Formel sollte als s = 1/2 * a * t^2 bekannt sein, wobei eben immernoch a = g gilt)

s ist dabei die Strecke die der Stein ber der konstanten Beschleunigung g nach der Zeit t zurückgelegt hat. Wenn wir nun sagen der Stein beginnt bei einer Höhe von h_0 (= 100 Meter) zu Fallen, dann kann man sich leicht überlegen, dass

s = h_0 - h

gilt, wobei h eben die momentane Höhe des Steins ist, nachdem er die Strecke s schon gefallen ist. (Wenn das nicht sofort klar ist, einfach mal ne Skizze zeichnen dann sieht man das).

Wir schreiben also

h_0 - h = 1/2 * g * t^2

Nun lösen wir noch die obere Formel v = g * t nach t auf und setzen diese dann in die untere ein um eine Gleichung zu erhalten, die nicht mehr von t abhängt und nur noch die Größen v, g, h und h_0 enthält. Da wir g und h_0 bereits kennen wird uns diese erlauben den gesuchten Zusammenhang zwischen v und h zu bestimmen:

v = g * t

t = v/g

h_0 - h = 1/2 * g * t^2

h_0 - h = 1/2 * g * (v/g)^2 = 1/2 * g * v^2 / g^2 = 1/2 * v^2 / g

Nun lösen wir noch nach v auf, denn das wollen wir ja wissen:

2g * (h_0 - h) = v^2

v = Wurzel( 2g * (h_0 - h) )

Also wissen wir jetzt:

v(h) = Wurzel( 2g * (h_0 - h) )

Das können wir nun ganz oben in unsere Formel für die kinetische Energie einsetzen:

E_kin(h) = 1/2 * m * v(h)^2 = 1/2 * m * [ Wurzel( 2g * (h_0 - h) ) ]^2 = 1/2 * m * 2g * (h_0 - h) = m * g * (h_0 - h)

Nun müssen wir noch die kinetische Energie und die potentielle Energie gleichsetzen um die Höhe zu bestimmen, bei der beide eben gleich sind:

E_pot(h) = E_kin(h)

m * g * h = m * g * (h_0 - h)

h = h_0 - h

2h = h_0

h = h_0 / 2

Alternative schnellere Lösung:

Energie wird beim Fall von potentieller in kinetische umgewandelt.

Vor dem Fall ist die potentielle Energie noch maximal und hat den Wert

E_pot(h_0) = m * g * h_0

Wenn sich der Stein bereits in einer Höhe h befindet die kleiner als ist als h_0 (wenn er also bereits ein Stückchen gefallen ist), dann gilt:

E_pot(h) = m * g * h < m * g * h_0 = E_pot(h_0)

Da die Energie natürlich nicht verloren gegangen ist, sondern in kinetische Energie umgewandelt wurde, können wir diese berechnen indem wir uns die Energiedifferenz anschauen. Diese Differenz ist nämlich natürlich genau die Energie die beim Fall in die kinetische Energie umgewandelt wurde:

E_kin(h) = E_pot(h_0) - E_pot(h) = m * g * h_0 - m * g * h = m * g * (h_0 - h)

Jetzt kennen wir also die kinetische Energie in der Höhe h. Nun einfach wieder die beiden Energien gleichsetzen und wieder nach h auflösen:

E_pot(h) = E_kin(h)

m * g * h = m * g * (h_0 - h)

h = h_0 - h

2h = h_0

h = h_0 / 2

Logischerweise kommt natürlich wieder das gleiche raus wie bei der ersten Variante.

Also meiner Ansicht nach sind Ziffern die Zahlen 0 bis 9, also die "Symbole" mit denen man Zahlen darstellen kann. Somit wäre die 1 eine Ziffer. Allerdings ist die 1 natürlich auch eine Zahl. Die Antwort ist also beides ist richtig.

Also zunächst mal ist (x+2)² = x² + 2*2*x + 2² = x² + 4x + 4.

Es gilt nämlich: (a+b)² = a² + 2ab + b² (Binomische Formel!)

Zweitens, ja, du musst Operatoren immer auf beiden Seiten der Gleichung (komplett!) anwenden. Sonst wären beide Seiten ja nicht mehr gleich.

Aufgabe 1:

Zeichne mal (oder überleg es dir im Kopf) eine Senkrechte zur x-Achse, die durch den Punkt P geht. Dann wirst du feststellen, dass du ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse d gebildet hast. Die Längen der Ankathete und der Gegenkathete kennst du auch, das sind nämlich logischerweise genau die x und y-Koordinaten des Punktes P. Da dieser auf der Geraden f(x) liegt hat er die Koordianten P( x | f(x) ). Jetzt kannst du den Satz des Pythagoras verwenden um eine Gleichung für d zu erhalten. Du erhälst also praktisch eine neue Funktion d(x), die dir d in Abhängigkeit von x (also der x-Koordinate von P) angibt. Von dieser musst du jetzt das Minimum finden (Hinweis: Ableitung bilden) und das ist dann die x-Koordinate für P bei der d minimal wird. P kennst du jetzt also auch.

Bei einer vollständigen Umdrehung des Reifens legt das Fahrrad eine Strecke zurück, die genau dem Umfang des Reifens entspricht. Das kann man sich klar machen indem man gedanklich um den Reifen eine Schnur wickelt, die man dann bei der Fahrt abrollt. Da du so also Berechnen kannst, welche vom Fahrrad zurückgelegte Strecke einer bestimmten Anzahl von Umdrehungen entspricht (muss nicht ganzzahlig sein, es gehen natürlich auch Bruchteile einer Umdrehung), kannst du umgekehrt auch berechnen wieviele Umdrehungen dein Reifen bei einer bestimmten zurückgelegten Strecke macht. Nun musst du also nur noch berechnen welche Strecke dein Fahrrad in einer Minute zurücklegt (das sollte einfach sein, die Geschwindigkeit des Fahrrads kennst du ja) und dann kannst du berechnen wieviele Umdrehungen dein Reifen für diese Strecke braucht. Das gibt dir dann logischerweise an wieviele Umdrehungen dein Reifen in genau einer Minute gemacht hat.