hallo, nachdem Du einen privaten Auftrag angenommen hast, ehrlich, nach Absprache mit Deinem Chef, bist Du nicht angehalten, da kein Gewerbe angemeldet, hie eine Rechnung zu schreiben, Steuern abzuführen, war halt privat.
Wenn der Kunde im Nachhinein Rechnung ect. benötigt, lass das über Deinen Chef / Firma laufen, ok.
Du kannst jederzeit neben Job, Rente, Arbeitslosigkeit bei entsprechender Info ein Kleinunternehmen anmelden, hier gib es feste Spielregeln, einfach informieren, googlen, als Freiberufler darfst Du per anno einen gewissen Betrag erzielen, steuerfrei, musst Du aber bei Auftrag dem Kunden mitteilen. Somit bist Du umsatzsteuerbefreit und hast vereinfachte Einkommensteuererklärung, Überschussermittlung, solltest Du weitere Aufträge in dieser Höhe erwarten, bringt das nichts liegst Du über dem Limit,
dann solltest Du das mit Deinem Chef abklären, wäre die einfachste Variante, statt ein eigenes Untenehmen gründen.