ein paar Tipps:

• alle Innenwinkel im Fünfeck = 108° (3 * Pi/5)
• zeichne mal auf der Grundseite ein innenliegendes Quadrat
• links + rechts davon verbleiben 18° (Pi/10) zur äußeren Fünfeckseite
• bekanntermaßen sind cos72° und sin18° das gleiche :-)
• suche generell (rechtwinklige) Dreiecke im Fünfeck, mit "Hilfslinien"
• Hilfslinien gehen z.B. von einer Ecke in eine der beiden gegenüberliegenden
• hübsch übrigens das dabei entstehende Pentagramm!
• oder von einer Ecke zur genau gegenüberliegenden Seitenmitte
• dann noch ein bisschen mit dem Satz des Pythagoras spielen .....
• es besteht auch eine enge Verbindung zur Zahl vom "Goldenen Schnitt"

mit pentischen Grüßen, Mukundi

..... und hier der ABSCHLUSS (bitte ZUERST das davor lesen :-) .....

Der beste Test, ob Du es begriffen hast, ist, indem Du versuchst, dieses Wissen jemandem verständlich zu machen. Suche Dir z.B. jemanden, der es auch gerne verstehen würde, und gebe Dein Bestes, gerne mit Stift + Papier + Würfel. Das Anschauliche wird ungemein helfen! Abgucken und wieder von vorne anfangen ist dabei durchaus erwünscht. Und wenn Dir die Person etwas bedeutet, lasse sie es danach Dir erklären :-).

Vielleicht ahnst Du es schon: erst dann, wenn Du es anderen erklären musst, setzen sich Deine grauen Zellen ernsthaft damit auseinander, und durch jede "Wiederholung" wird es besser in Deinem Gehirn "verankert". Meine drei großen Geheimnisse für Spitzennoten sind: 1. ZEIT (die muss man sich großzügig einplanen, insbesondere wenn man sich nicht für hochintelligent hält, und auch wenn sich andere darüber lustig machen, dass man Schule und seinen später darauf aufbauenden (!) beruflichen Erfolg nicht "vergeigen" will; "Arbeitslose" sind immer abhängig von anderen, und (finanzielle) FREIHEITgibt es meist nur mit eigenem Verdienst), 2. PARTNER (allein lernt es sich nicht so gut wie zu zweit oder maximal zu dritt; nur so kann man schon VOR der Arbeit feststellen (lassen), wo man noch unsicher ist; wenn man sich zum Lernen verabredet, gibt man sich selbst ungern die Blöße, nichts dafür zu tun), 3. WIEDERHOLUNG (für sich selbst wiederholen = neu-/abschreiben + bereits gelöste/neue/eigene Aufgaben bearbeiten, wiederholen sollte man aber AUCH mit anderen, siehe 2.).

Viel Erfolg !!!!!

Liebe + lustige Grüße

Mukundi

..... FORTSETZUNG !!!!! .....

1. .....

2. .....

3. .....

4. .....

5. .....

6. Das "Pascalsche Dreieck"! Faszinierend ist, wenn man die Anzahl-Aufteilung Zeile für Zeile mittig untereinander schreibt, erst 1 1, dann 1 2 1, dann 1 3 3 1, dann 1 4 6 4 1, und feststellt, dass sich jede Zahl aus den beiden darüber (links und rechts versetzt) ergibt! Die Zeile für den 10. Versuch hat 11 Zahlen, nämlich 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1, die zusammen natürlich 1024 ergeben. Weil das ganze wie ein Dreieck aussieht (siehe auch Wikipedia), lässt sich das System wirklich gut im Gehirn "verankern". Diese Zahlen der "10. Reihe" entspricht den Binomialkoeffizienten (10 über 0), (10 über 1), (10 über 2) usw. bis (10 über 10). Die Antwort auf die Frage: "Wieviel Kombinationen gibt es, wenn ich bei 10 Versuchen 2x Treffer (bzw. 8x Pech) haben will?" ist mit (10 über 2) = (10 über 8) = 45 nun leicht zu beantworten.

7. Die Binomialverteilung ist - am Beispiel von 10 Versuchen, bei denen es wie gesagt nur je ZWEI Ausgänge gibt, und die Reihenfolge egal ist - im Grunde einfach nur die Aufteilung von 1024 Möglichkeiten auf 11 Schubladen, die unterschiedlich voll sind. Das einzige, was jetzt noch "erschwerend" dazu kommt, ist die Wahrscheinlichkeit für "Treffer", die von "fifty-fifty" abweichen darf - und gewöhnlich auch abweicht. Folgende Frage lässt sich mit diesem Verständnis noch leicht beantworten: wie groß die Wahrscheinlichkeit, mit 10 "ungezinkten" Würfeln (oder 10 Würfen hintereinander mit einem Würfek) genau zweimal eine gerade Zahl zu haben? Es sind (10 über 2) = 45 Möglichkeiten von 2^10 = 1024 Ausgängen, und alle haben die gleiche Wahrscheinlichkeit (nämlich (1/2)^10 = 1/1024), somit also 45/1025 = ca. 4,39 %. Statt "ungezinkt" wird auch gerne "Laplace'schen" verwendet, damit es keine unfairen "Verschiebungen" gibt, und wirklich jede Zahl eines sechsflächigen Würfels mit der Wahrscheinlichkeit von 1/6, oder die Seite einer Münze mit genau 1/2 fällt.

8. Lautet die Frage aber: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 Würfe(l)n die Zahl 5 genau 2x fällt?", ist das schon gemeiner - denn "Treffer" entspricht 1/6, und "daneben" 5/6! Für unseren Fall brauchen wir genau 2 Treffer (also (1/6)^2) sowie genau 8 Nichttreffer (also (5/6)^8), und diese Kombination kann 45x (10 über 2) durchmischt auftreten. Schließlich ist es egal, ob die beiden 5en am Anfang, in der Mitte oder erst zum Schluss fallen. EIN Fall dieser 45 Kombinationen, den wir zuerst ausrechnen, ist einfach der, dass gleich am Anfang beide Treffer fallen, und danach immer (also restliche 8x) das Gegenteil: (1/6)^2 x (5/6)^8 = ca. 0,00646022. Alle 45 Fälle mit dieser Wahrscheinlichkeit ergeben zusammen das 45-fache, demnach ca. 29,07 %. Die recht hohe Zahl verdanken wir dem Umstand, dass bei 8 von 10 Faktoren ja die Wahrscheinlichkeit 5/6 und damit jeweils ca. 83 % ist.

9. Um die Gemeinheit noch zu verstärken, könnte man auch fragen: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 5 HÖCHSTENS 2x fällt?". Dann muss man nicht nur die EINE der elf Schubladen betrachten, sondern ALLE betroffenen, in diesem Falle die Wahrscheinlichkeit von "genau 0x5", "genau 1x5" und "genau 2x5" addieren. Das ist jetzt hoffentlich auch kein Problem mehr, oder? Wichtig ist - da kommt wieder die Bequemlichkeit zum Vorschein -, in WELCHER Richtung man die Schubladen ausräumt + addiert. Je weniger Schubladen, desto weniger Arbeit :-). Ist die Frage nämlich: "Wie hoch ....., ..... die 5 bis zu 8x fällt?", könnte man folgende Schubladen errechnen und addieren: 0x5, 1x5, 2x5, 3x5, 4x5, 5x5, 6x5, 7x5 und 8x5 - puuuuuh! Da ist es einfacher, von der magischen "1" ("alle Wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben 1") den Rest abzuziehen, und das sind nur noch 2 Schubladen: 9x5 und 10x5 :-).

..... Abschluss kommt gleich :-) .....

Hallihallo,

eingangs mal ein kleiner Tipp: in dem (auch für die Lachmuskeln!) sehr empfehlenswerten Film "Was ist mit Bob" geht es um "Babyschritte", mit denen sich im Grunde JEDES Problem lösen lässt. Einfach dadurch, dass man nicht zuviel auf einmal macht, bzw. schwere Aufgaben in viele kleine Schritte aufteilt, die einem eben nicht schwer fallen. Vielleicht kennst Du ja jemanden, der die Sendung am 10.07.2010 oder 31.12.2010 aufgenommen hat, im AVI-Format, mit ein paar Minuten davor und danach, mit Werbung, und mit rund 854 MB :-).

Hier nun "Babyschritte" zur Binomialverteilung (nicht "... nomiNal ..."), am besten mit Stift + reichlich Papier veranschaulichen. Für das "hoch"-Zeichen verwende ich durchgängig das "Dach" (^), also 2² = 2^2 und 2³ = 2^3.

1. die "Zufallsbetrachtung" ist schön einfach, wenn man nur unterscheidet zwischen "Treffer (yippie)!" und "Daneben (Mist)!". Beim Würfel könnte die Bedingung sein: "Zahl ist ungerade", "Zahl ist genau 5", "Zahl ist kleiner als 3" oder so. Hauptsache, es gibt nur ZWEI Ergebnisse, z.B. JA oder NEIN. Die Zahl ZWEI wird übrigens oft Vorsilben abgekürzt, wie z.B. "Bi-", "Di-", "Dual-". Damit haben wir schon mal die ersten beiden Buchstaben vom "Binomialkoeffizienten" geklärt :-).

2. LEIDER begnügt man sich oft nicht mit einem einzigen Versuch, sondern mit mehreren. Was ich mit Buchstaben nicht so schön darstellen kann, möge man sich nun vorstellen: die "Verästelung". Eine der vielen Varianten ist, vom Startpunkt aus zwei lange Linien nach unten zu zeichnen, die eine nach links, die andere nach rechts. An den linken unteren Punkt J für JA schreiben, an den rechten N für NEIN. Ein zweites Experiment zeichnet man dann unter beide Punkte, diesmal mit kürzeren Linien (es soll ja keine Überschneidungen in der Mitte geben). Unter dem J wieder nach links unten mit JJ, nach rechts unten mit JN, und unter dem N mit NJ und NN. Das gleiche Spiel darunter sollte acht Punkte ergeben, mit JJJ, JJN, JNJ, JNN, NJJ, NJN, NNJ und NNN. Einfach mal ausprobieren.

3. Später könnte man neben die Linien den Wert der Wahrscheinlichkeit schreiben, z.B. 1/6 für jedes (neue) J und 5/6 für jedes (neue) N, aber zuerst soll ja das "Binome" deutlich werden. Wichtig dafür ist, dass die - noch nicht daneben geschriebene - Wahrscheinlichkeit immer gleich bleibt, was man auch "mit Zurücklegen" bezeichnet (Gegenbeisiel: typische "Urne" mit verschiedenen Kugeln, wo die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Farbe mit jeder Entnahme bis auf Null sinkt, falls OHNE Zurücklegen). Nach EINEM Experiment gibt es ZWEI "Ausgänge", nach 2 gibt es 4, nach 3 gibt es 8, bei jedem weiteren Versuch also immer das DOPPELTE (ziemlich "bi"!) vom vorherigen Versuch! Nach 10 Versuchen sogar 2^10. Wenn die Reihenfolge (erst Treffer dann Pech, dann umgekehrt) WICHTIG ist, müsste man dann 1024 verschiedene Ausgangsmöglichkeiten diskutieren !!!!! Wäre es nicht bequemer, die Reihenfolge außer Acht zu lassen?

4. Faul, wie auch Mathematiker sein können, die wie bei 1. am liebsten nur zwei Ergebnisse pro Versuch akzepieren wollen, sind sie auch darauf gekommen, dass man diese 1024 Verläufe bei "Vergessen" der Reihenfolge auf wenige Schubladen verteilen kann, zufällig (?) auf eine mehr als es Durchläufe gegeben hat, hier nämlich auf 11 Schubladen. Der Einfachheit nochmal ein Blick auf 2., wo es zum Schluss 8 verschiedene "Ausgänge" gibt. Manche sehen sich durchaus ähnlich! Z.B. JJN, JNJ und NJJ, oder auch JNN, NJN und NNJ. Die erste Dreiergruppe erste lässt sich so zusammenfassen: "Egal in welcher Reihenfolge, Hauptsache "J" ist zweimal dabei (oder "N" nur einmal)!", die zweite in "..... 1x J (oder 2x N) .....". Ganz allein und ohne Gruppenzugehörigkeit bleiben immer die "Extremisten", ganz links oder ganz rechts außen.

5. Leicht festzustellen: nach dem 3. Versuch gibt es 2^3=8 "Ausgänge", die sich in 3+1=4 Gruppen aufteilen lassen: 3xJ, 2xJ, 1xJ, 0xJ. Interessant dabei ist auch die Anzahl! In der gleichen Reihenfolge wäre das 1, 3, 3, 1. Rückblickend zum Ergebnis nach 2 Versuchen lässt sich sagen: 2^2=4 Ausgänge, 2+1=3 verschiedene Gruppen (2xJ/1xJ/0xJ, Anzahl 1/2/1 = zusammen natürlich wieder 4). Vielleicht werden da auch Erinnerungen an die binomischen Formeln wach? (a+b)^2 = a^2+ab+ba+b^2 = a^2+2ab+b^2. Zwei Buchstaben (statt J und N einfach a und b) gestatten 4 Kombinationen, von denen sich - gemäß Kommutativgesetz (na?) - zwei zusammenfassen lassen. Dann müsste auch folgendes verständlich sein: (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.

..... Fortsetzung gleich, wegen zuvieler Zeichen .....

1. Feststellung: 100 cm = 1 m, daraus folgt 1 cm = 0,01 m ("klar soweit?" könnte jetzt Jack Sparrow, ich meine natürlich CAPTAIN Jack Sparrow sagen!)

2. Feststellung: Raumvolumen braucht DREI Dimensionen, nämlich LÄNGE x BREITE x HÖHE; kleines Beispiel: man will aus kleinen Würfeln einen größeren Würfel bauen der die doppelte Kantenlänge hat. Dann verdoppelt man die Länge, die Breite und die Höhe, also 2 x 2 x 2 = 2³ = 8. Der neue Würfel besteht demnach aus acht kleineren Würfeln. Einfach mal ausprobieren. Soll der neue gar die zehnfache Kantenlänge haben, sind das 10x für die Länge, 10x für die Breite, und 10x für die Höhe, also 10 x 10 x 10 = 10³ = 1000. Wird wohl etwas länger dauern, den nachzubauen; woher so viele Würfel nehmen? Und die Zeit???

3. Feststellung: wenn man von 1000 cm³ auf die Zahl der m³ kommen will, muss man PRO DIMENSION durch 100 teilen. Wie vielen Dimensionen waren es nochmal? Ach ja, DREI! Also durch 100 x 100 x 100 = 100³ = 1.000.000 = 10 hoch 6. Oder, wer sich lieber mit "Nullen" beschäftigt: das Komma 3x um 2 Stellen zur Seite schubsen, also um 6 Stellen, natürlich zur RICHTIGEN Seite hin :-). Wenn man es an der "1" vorbei schubst, muss man jeweils eine Null vor sie stellen. Und daraus wird dann 0,001 m³. Statt drei Nullen hinter der "1" hat man nun drei Nullen vor der "1", quasi eine SECHS-fache Verschiebung.

So, und jetzt, wo alles klar ist: AUF NACH TORTUGA - INS VERGNÜGEN !!!!!

Vielleicht hilft es ja, sich manches bildlich vorzustellen.

Das Geheimnis der Zahl Pi ist vielfältig. Ich wollte sie auch gerne "sehen". Mir hat folgendes Verständnis geholfen. Ich lege mir aus 8 Streichhölzchen ein Quadrat, jede Seite also 2 Seiten lang. Dann male ich mit dem Zirkel einen Kreis rein, der genau passt, der also die Mitte jeder Quadratkante "tangiert". Jetzt die spannenden Frage zur Fläche (z.B.: wie viel Farbe müsste ich kaufen?) und zum Umfang (z.B.: wie viel Zaun müsste ich kaufen?): wie goß beim Quadrat, und wie groß beim Kreis? Erst mal das einfache: der Umfang vom Quadrat ist 4x Kante, hier also 4x2 = 8. Und die Fläche ist Länge x Breite, also 2x2 = 4. Und der Kreis? Irgendwie weniger, das sieht man :-).

Vor langer Zeit sich Mathematiker, die lange nicht all das wussten, was heute jeder Schüler bis zu seinem Abschluss mal kennen lernt, kräftig darüber gegrübelt - und auch "geschummelt": Sie haben einfach in einen solchen Kreis ganz viele Linien gezogen, die durch den Mittelpunkt gehen, und dort, wo zwei benachbarte Linien den Kreisrand erreichen, eine gerade Linie gemalt, weil man diese Dreiecke ja ausrechnen kann. Je mehr Linien, desto mehr Dreiecke, desto genauer die Annäherung. Man hat also die vielen Flächen addiert, um auf die Gesamtfläche zu kommen, und die vielen kleinen geraden Stückelchen am Rand, um auf den Umfang zu kommen. Dafür wurden Unmengen von Zahlen addiert, bei denen man sich nicht den kleinsten Rechenfehler erlauben durfte !!!!!

Was man heute vielfältig beweisen kann, konnte man damals nur "sehen": ein Kreis in einem Quadrat mit der Kantenlänge 2 - das entspricht einem Durchmesser von 2, oder einem Radius (auch "Halbmesser genannt, der Zirkelausschlag) von 1 - hat nicht die Fläche 4 wie beim Quadrat, sondern nur etwas über 3 (genauer gesagt 3,14....., also PI). Das erinnert übrigens auch an eine Pizza im Pizza-Karton. Ist doch ein schönes - und LECKERES - Bild, oder? Torte im Karton ginge auch. Beim Umfang wurde die gleiche Entdeckung gemacht, statt 8 (Quadrat) sind es nur 6,28..... (Kreis), also auch hier steckt diese Zauberzahl drin.

Habe für mich bei vielen Formeln / Vokabeln / sonstigen Dingen entdeckt: je mehr "Anker" (Bilder, Eselsbrücken, Erinnerungen, Erlebnisse, "Verknüpfungen"), desto besser + schneller kann ich darauf zugreifen. Es kommt auf die Verschiedenartigkeit der Anker an, und erst dann auf die Anzahl. An manchen "Ankern" kann man auch selber basteln, z.B. mit Pizza und Torte :-).

Ansonsten: zusammengesetzte Flächen aufteilen in solche, die Du einzeln berechnen kannst. Dreiecke sind idiotensicher, ist bei Computeranimationen gang und gäbe. Zum Schluss einfach addieren :-).

Verwendung von Pi: ist im Handwerk, in der Produktion, im Konstruieren und vielem mehr wichtig, z.B. damit zum Schluss alles passt + funktioniert + gut aussieht, und u.a. kein Geld für "Übermengen" (an Material) verschwendet wird, oder "Untermengen" zur Katastrophe führen (nicht mehr in der gleichen Ausführung nachbestellbar). Und um die grauen Zellen der Schüler zu quälen!

Bei dem genannten Lösungsansatz hast Du die Aufgabenstellung vielleicht nicht ganz richtig in Erinnerung :-). Quersumme 13 für eine zweistellige Zahl ist o.k.! Wenn man die Zahlen vertauscht, soll aber nicht die Quersumme verändert werden, sondern der Wert, und zwar um 27. Ebenfalls machbar :-). Mein "chaotischer" Ansatz - wobei der Deines Lehrers der brave Weg ist -: "27" entsteht, wenn die Ziffern um 3 auseinander liegen, z.B. 14 und 41, oder 96 und 69. Beim Zifferntausch ergibt die Differenz IMMER eine durch 9 teilbare Zahl. Kleiner Gruß an die Buchführer: wenn die Soll- und Haben-Zahlen nicht stimmen, und die Differenz durch 9 teilbar ist, wird erstmal nach "Zahlendrehern" gesucht! In der Quersumme 13 muss die eine Zahl also um 3 größer sein als die andere. 13 - 3 = 10, und davon die Hälfte ist 5. Also muss die eine Ziffer 5 sein, die andere 5 + 3 = 8. Probier's mal aus :-).

1. Schritt: Realitätssinn einschalten. Eine Steigerung von 13.568 (5-stellig) auf 178.967 (6-stellig) im Folgejahr ist sehr ungewöhnlich. Und ein Lebensmittelhandel kann von gut 1.000 Umsatz (13.568 / 12 = ca. 1.130) im Monat garantiert nicht leben. Nach Abzug von Einkauf + Miete, was soll da noch für das Personal bleiben? Und für den Unternehmer? Aber was soll's, die Zahlen sind da, und die Aufgabe ist gestellt.

2. Schritt: auswendig (na?) gelernte Formel aufschreiben. Die lautet "100% durch GRUNDWERT mal PROZENTWERT = PROZENTSATZ".

3. Schritt: überlegen, was man wo einsetzen muss. Was ist der GRUNDWERT? In unserem Fall die 13.568! Was ist der PROZENTWERT? In unserem Fall der Zuwachs. Der Zuwachs steht GEMEINERWEISE noch nicht da, den muss man sich erst errechnen. Und wie? Indem man die 2010-Zahl minus die 2009-Zahl rechnet, Zuwachs = 178.967 - 13.568 = 165.399.

4. Schritt: Zahlen in die Formel einsetzen. 100% / 13.568 * 165.399 = 1.219 %

5. Schritt: Antwort. Ist die Aufgabenstellung TEXT, muss das Ergebnisformat genauso sein, also Text. Im einfachsten Fall: "Der Umsatz nahm von 2009 zu 2010 um 1.219 % zu".

Mit diesen 5 Schritten sollten sich alle Aufgaben dieser Art spielend lösen lassen. Wichtig allein ist, dass man es häufig genug übt! Vom Zusehen + Abnicken allein kann sich niemand was richtig gut einprägen. VIEL ERFOLG!

Grundgedanke: bei Strecke AB erstmal die anderen Punkte C und D vergessen.

Dann die Betrachtungen: wie weit muss ich auf der x-Achse spazieren, um von A nach B zu kommen, und wie weit auf der y-Achse?

Auf der x-Achse liegen die Punkte in Höhe von -3,6 und +2,8 ..... das bedeutet einen Spaziergang von 6,4 cm :-).

Auf der y-Achse liegen die Punkte in Höhe von 0 und -4,8 ..... das bedeutet einen Spaziergang von 4,8 cm :-).

Diese beiden Spaziergänge sind im Grunde ein "Umweg", um von A nach B zu kommen. A und B stehen im rechten Winkel zueinander, wie bei einem Rechteck. Der direkte Weg ist dann die Diagonale, die sich nach dem "Satz des Pythagoras" errechnet ("Fläche an den Katheten = Fläche an der Hypotenuse", durch Parallelverschiebung leicht "sichtbar").

Formel für die Diagonale - allgemein:

aus "a² + b² = c²" wird "c = Wurzel(a² + b²)"

Formel für die Diagonale - in unserem Fall:

Strecke(AB) = Wurzel(6,4² + 4,8²) = 8

KLEINER TRICK: oft sollen die Ergebnisse "glatte" + "einfache" Zahlen ergeben. Das sieht dann irgendwie "aufgeräumter" aus. Ist zwar nicht bei vielen Aufgaben der Fall, aber manchmal - wie hier - eben schon! Beim Satz des Pythagoras hat man "zauberhafte" Tripel entdeckt, wo nur ganze Zahlen auftreten, ohne Wurzeln, z.B. "3/4/5" (3² + 4² = 5²)! Hatten wir auch in diesem Fall, nur leicht verändert, mit Faktor 1,6:

1,6 * 4 und 1,6 * 3, ergibt 1,6 * 5 ..... das wäre die schnellste Lösung :-)

Weitere "Pythagoreische Tripel": 5/12/13, 7/24/25, 8/15/17 und 9/40/41. Wer diese ersten fünf Tripel im Kopf hat, muss manchmal gar nicht viel rechnen, sondern einfach das Tripel daneben schreiben. Und SCHOCKIERT Lehrer + Mitschüler, hihihi :-). Geht natürlich nur, wenn beide gegebenen Komponenten Teil des gleichen Tripels sind, mit gleichem Faktor (z.B. "gegeben Kathete = 10 und Hypothenuse = 26", dann ist die andere Kathete = 24; Tripel 5/12/13, mit Faktor 2)

auf http://maps.google.de/ (linke Seite) "Route berechnen" wählen, beide Städte eingeben (ggf. auch mit Straße + Hausnummer), und ***** SCHWUPPS ***** steht dort für "Lauterbach/Hessen" und "Mainz" 157 km, 1 Std. 35 Min. :-). Variiert natürlich mit der Eigengeschwindigkeit, die wiederum vom Verkehrsaufkommen und der Stau-/Unfall-Bereitschaft der anderen abhängt :-). Vielleicht meinst Du ein anderes Lauterbach, weil Du 120 km geschätzt hast? In jedem Fall stau- + unfallfreie Fahrt !!!!!

naja, fast :-) 1.000.000 ^ 1.000 = (10^6)^1000 = 10^6000 einfach nur eine Null weniger!

Kuckuck,

• [Tastatur]: hier gibt es nur ² und ³ als Hochzahlen, weil die am häufigsten gebraucht werden (für Flächenmaße wie m² oder Volumen wie cm³). Man behilft sich eben mit dem "Dach"-Zeichen (^), ganz links oben auf der Tastatur; eine kleine 6 oder andere kleine Hochzahlen gibt die Tastatur nicht her (tröst!). In Textverarbeitungsprogrammen - wie OpenOffice (gratis + spitzenmäßig!) kann man aber Zeichen als "hochgestellt" formatieren, oder einen Formel-Editor verwenden (prima bei Bruchzahlen und vielem mehr!)

• ["das neutrale Elemet!"]: die "1" ist das "neutrale Element" der Multiplikation; egal was und wie oft ich mit 1 multipliziere, es bleibt immer gleich; Beispiel: 23 * 1 = 23; 34 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 = ..... ??? Na, 34 :-)!

• [zur Erinnerung (Vorzeichen)]: minus mal plus (und plus mal minus) ist minus, minus mal minus (und plus mal plus) ist plus; Beispiel: -2 * 5 = 2 * (-5) = 10; die (-5) steht in Klammern, weil sich sonst zwei Operatoren ("*" und "-") "berühren" würden, das dürfen die aber nicht, pfui pfui :-); Potenzbegriffe: bei x² bzw. x^2 ist x die BASIS, 2 der EXPONENT, und beides zusammen die POTENZ

• [Vorzeichen "befreien"]: man kann eine negative Zahl "entblößen", wenn man das Vorzeichen "getrennt" von ihr schreibt: -55 = -1 * 55 = 55 * (-1); dann hat man die 55 als Zahl, und das "neutrale Element der Multiplikation" schleppt nun das Vorzeichen (uff!), nämlich eine 1.

• Vorzeichen-Beobachtung: (-1) * (-1) = (-1)^2 = +1, (-1) * (-1) * (-1) = (-1)³ = -1; man erkennt schnell: ist der Exponent gerade, kommt +1 raus, ansonsten -1

• [Lösung Deiner Aufgaben]: zur besseren Übersicht das Vorzeichen von der Zahl trennen, an der es klebt, mit dem "Zauberelement", und getrennt potenzieren; und GENAU darauf achten, an welcher Stelle das Vorzeichen steht, ob vor der Potenz, also -x^3, oder vor der Basis, also (-x)^3, steht; nur im zweiten Fall muss das Vorzeichen noch "potenziert"" werden; im ersten Fall bleibt einfach alles, wie es ist :-)

• (-x^2)^3 = (-1)^3 * (x^2)^3 = (-1) * x^6 = -x^6

• (-x^3)^2 = (-1)^2 * (x^3)^2 = (+1) * x^6 = x^6

• -(x^2)^3 = -x^6

• -(x^3)^2 = -x^6

• ((-x)^2)^3 = (((-1)*x)^2)^3 = ((-1)^2 * x^2)^3 = (1 * x^2)^3 = x^6

• ((-x)^3)^2 = (((-1)*x)^3)^2 = ((-1)^3 * x^3)^2 = ((-1) * x^3)^2 = (-1)^2 * (x^3)^2 =

• [Abschluss]: somit ergibt sich für die letzten drei Aufgaben von Dir "-1", "-1" und "1"

klar soweit? Fröhliche Grüße, mukundi