Es seien (M, d) ein metrischer Raum, A ⊆ M kompakt und x ∈ M.
Warum existiert das folgende Minimum?

d(x,A) := min{d(x,a) | a ∈ A}

Es gilt ja das Kompakta ihre Maxima und Minima enthalten. Habt ihr vielleicht eine Idee ? Danke im Voraus:)

Mein Idee war, das ich hier mit dem Einschachtelungssatz arbeiten könnte, dann könnte ich zeigen, dass das Grenzverhalten 1 ist für bestimmte Folgen. Das hat dann auch mehr oder weniger geklappt, aber ich frag mich ob die Aussage auch für ein s=0 wahr ist. Ich verstehe nicht, wie ich das zeigen soll.

Es seien s, S ∈ R>0 zwei positive reelle Zahlen und (an)n∈N eine Folge

reeller Zahlen mit 0<s<an <S für allen ∈N.Zeige,

lim n→∞ : n-te Wurzel von an = 1

Ist die Aussage auch noch richtig mit s = 0?

Vielen Dank im Voraus :)

Zeige, die Definitionen

x + y := x + y

und

x · y := x · y

hängen nicht von den Repräsentanten der Äquivalenzrelationen x und y ab.

Wobei x und y Äquivalenzklassen sind.

Ich komme hier einfach nicht auf einen richtigen Ansatz. Kann mir jemand helfen ?