Wenn ein Winkel z.B. 150 ° beträgt, ist der Sinus davon 0,5. Rückwärtsrechnung gibt aber 30 °, denn der Sinus von 30° ist auch 0,5. Diese Zweideutigkeit führt dazu, dass der Winkel statt 81,51° auch 180°-81,51°=98,49° sein kann, wie es hier angeblich der Fall ist. Die Skizze zeigt, dass der Winkel bei C 81,51° und bei C' 98,49° sein kann. Ohne weitere Angaben kann man nicht sagen, welches Ergebnis zutrifft. Es gibt 2 Lösungen!!!

Stell dir vor, du sollst die Breite eines Spaltes messen (er ist zwischen 2 mm und 3 mm breit). Mit der Schieblehre kommst du nicht dazwischen, das ist zu eng. Foto wäre möglich, gleichzeitig ein Lineal mitfotografieren, Bild vergrößern und mit Dreisatz rechnen.

Nun hast du aber einen Keil. Der ist z.B. 12 cm lang, wird gleichmäßig(!!) breiter von 0 bis 1,8 cm. Den schiebst du in den Spalt, bis er klemmt, und bringst dann dort eine Markierung an (Ende der gelben Zone).

Jetzt misst du die Entfernung von der Keilspitze bis zu dieser Markierung, das sind z.B. 1,6 cm. Nach dem Strahlensatz gilt nun: 1,8/12=h/1,6, wobei h die Höhe des rechten gelben Randes und damit die gesuchte Spaltbreite ist. Somit wäre

h=1,8/12*1,6=0,24 cm = 2,4 mm

Beim Keilausschnitt ist es ähnlich. Nur steckst du keinen Keil in einen Spalt, sondern der Keilausschnitt ist ein keilförmiger Spalt, in den du etwas anderes, z.B. eine Platte, bis zum Anschlag hineinschiebst und auf die selbe Weise die Dicke bestimmst.

Du gehst von A zu B, indem du von den B-Koordinaten die A-Koordinaten abziehst:

a) VektorAB=(2|2|2), entsprechend VektorBC=(2|2|-2). Beide sind kolinear, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist. Das ist hier wegen des letzten Minuszeichens nicht der Fall. (Ich habe hier die falsche Zeilenschreibweise benutzt, komme mit dem Formeleditor nicht klar.)

Die Vektoren (3|12|-21) und (-7|-28|49) sind kollinear, weil man den zweiten erhält, wenn man die Komponenten des ersten mit -7/3 multipliziert.

Grundsätzlich gilt für beliebige Winkel - unabhängig von der Höhe der Rollen - , dass der Knotenpunkt, in dem die drei Seile zusammentreffen, ruht, sich dort also alle Kräfte ausgleichen. Außerdem können Seile immer nur in Seilrichtung ziehen.

1. F1 und F2 müssen vektoriell addiert F ergeben, weil F senkrecht nach unten zieht und durch eine genau so große, entgegengesetzt gleiche Kraft kompensiert werden muss. Die Summe der senkrechten Komponenten von F1 und F2 muss daher genau F sein.
2. Die waagerechten Komponenten von F1 und F2 müssen entgegengesetzt gleich groß sein, sonst würde sich der Knotenpunkt zu einer Seite hin bewegen.

Daraus ergibt sich:

F1 sin(alpha)=F2 sin(beta)

F1 cos(alpha)+F2 cos(beta) = F

Bei gleichen Winkeln vereinfacht sich das Ganze zu F1=F2 und

F1*2cos(alpha)=F bzw. F1=F/(2 cos(alpha)).

Bei 16 und 8 cm ist das rechte oder linke Teildreieck 8 cm hoch und 8 cm breit sowie rechtwinklig, also ist alpha = 45° und damit F1=F2=F*Wurzel(0,5).

Beachte, dass ich alpha und beta woanders hingezeichnet habe als du, was bei 45° zufällig keine Rolle spielt.

Der Haupteffekt des SWING-BY ist nicht die Umlen kung, sondern der "kostenlose" Geschwindigkeits- bzw. Energiegewinn.

Hier noch mal eine Vereinfachung: Wenn du einen idealen Flummi gegen eine Wand mit großer Masse wirfst, kommt er mit (fast) der selben Geschwindigkeit zurückgeflogen. Was geschieht, wenn diese Wand dem Flummi entgegenkommt (z.B. als Platte auf einem Güterwagen)? Wenn der Flummi mit 20 km/h auf die Wand zufliegt, die Wand ihm mit 100 km/h entgegenkommt, "sieht" die Wand ihn mit 120 km/h auf sich zukommen. Die Wand weiß aber nicht, dass sie sich bewegt, für sie (!) prallt der Flummi mit 120 km/h in Fahrtrichtung zurück, und wir sehen ihn dann mit 120 + 100 = 220 km/h zurückkommen.

Allgemein gilt für den optimalen Fall (180°-Umkehr):

v= Flummi/Satelliten-Geschwindigkeit vor der Begegnung, von uns aus gesehen

-w=Wand/Planeten-Geschwindigkeit

m=Flummi/Satelliten-Masse

M=Wand/Planeten-Masse, viel größer als m!

Aus v wird -(v+2w) für den Flummi/Satelliten, also Impulsänderung=-2m(v+w), für die Wand/den Planeten +2m(v+w) (abbremsend), Geschwindigkeitsänderung dafür 2(v+w)(m/M), letzte Klammer fast 0.

Energiezunahme aus unserer Sicht: Von 0,5 m v^2 auf 0,5 m (v+2w)^2= 0,5 m (v^2+4vw+4w^2)-0,5 m v^2 = 2m(vw+w^2)

Energieabnahme der Wand: 0,5Mw^2-0,5M(w-2(v+w)(m/M))^2=0,5Mw^2-0,5M(w^2-4w(v+w)(m/M)+4(v+w)^2(m/M)^2)

=2M(w(v+w)(m/M)+4(v+w)^2(m/M)^2)=ungefähr 2Mw(v+w)(m/M), da (m/M)^2 ganz winzig wird, = 2m(vw+w^2).

Das Ganze enthält 2 Vereinfachungen: 1. das 180°-Zurückprallen, 2. dass m/M ganz winzig ist. Sonst werden die Rechnungen viel komplizierter.