Beim Diagonalverfahren gehst du die Brüche in einer bestimmten, durch die geometrische Anordnung festgelegte Reihenfolge der Reihe nach durch, das heißt: Jeder Bruch steht in der Liste, und jeder Bruch kommt beim "Abzählen" irgendwann dran, keiner wird ausgelassen. Das bedeutet: Es gibt nicht mehr Brüche, als es natürliche Zahlen gibt. Manche Brüche werden sogar mehrfach gezählt, z.B. 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8=... sogar unendlich oft!, aber das stört nicht weiter. Also ist |B|<=|N|.
Um gekehrt ist aber jede natürliche Zahl n=n/1=2n/2=... auch bereits (in der Tabelle sogar unendlich oft) in B enthalten, also kann |N| nicht >|B| sein. Daher sind beide Mengen gleich mächtig.
Das kommt uns komisch vor. Stell dir vor, du hättest unendlich viele Plättchen mit den Zahlen 1,2,3,4,... auf der Vorderseite. Auf der Rückseite stünde immer das doppelte der Vorderseite, also 2,4,6,8,... Dann wäre die "Anzahl" der geraden Zahlen auf der Rückseite genau so wie die Anzahl aller natürlichen Zahlen, obwohl auf der Rückseite die ungeraden Zahlen - also die Hälfte aller Zahlen - fehlen. Das liegt daran, dass 2*unendlich=unendlich ist.
Was soll das Ganze? Es gibt eben auch unendliche Mengen, die mächtiger als als die natürlichen Zahlen sind. Wenn du versuchst, irgendeine Abzählung der reellen Zahlen vorzunehmen, bleiben immer welche übrig, die du nicht erfasst hast. Du kannst dir dann einige davon aussuchen und deiner Zählung voranstellen, aber das hilft nichts. Du kannst sogar alle Brüche aus den Reellen Zahlen entfernen, der Rest ist immer noch "überabzählbar".
