Das kann wirklich sehr vielfältig sein. Das kommt auch ein wenig darauf an, wie in Deinem Fall die Organisation zwischen Land und Kommune geregelt ist.
Ein Schulamt kümmert sich in aller Regel um die Organisation schulübergreifender Fragen, die nicht von einer jeweiligen Schulleitung selbst gemacht werden können oder sollen. Dabei kann es um die Überwachung der Schulpflicht (also Folgen für Schulschwänzer und deren Eltern) gehen, um Planung der Schulorganisation im weitesten Sinne (Überwachung der Einschulung von Schulanfängern, Fahrtkostenzuschüsse für Klassenfahrten, und so weiter und so fort. Manchmal gehört auch die Verwaltung von Schulgrundstücken und -immobilien dazu. Da gibt es bestimmt etwas, das Dich interessieren könnte.
Zudem gibt es auch noch den Teil der Schulverwaltung, der sich um die inhaltliche Seite des Schulbetriebes kümmert (z.B. Schulräte mit Fragen rund um die Einstellung von Lehrern etc.). Und nicht zuletzt findet irgendwo die schlichte Personalverwaltung für Lehrer statt (Krankmeldungen, Besoldung, Kindergeld etc. pp.) Das genau zu beantworten ist aber schwierig, weil die Verwaltung in der föderalen Bundesrepublik da sehr unterschiedlich strukturiert ist. Lass Dich überraschen.