Also ich bin mit 19 Jahren ausgezogen. Sowas klappt soweit ganz gut. Ich beantworte mal deine Fragen nach der Reihe.
jeder, der deine Adresse hat. Du findest im Internet super Checklisten, auf denen alle wichtigen Sachen draufstehen (Bank, Versicherung, Behörden, Strom usw.).
Du meldest dich beim Bürgeramt um in einer Großstadt (oder direkt im Rathaus, je nach dem, in welcher Stadt du wohnst). In Berlin gibt es Bürgerämter, bei denen man online Termine buchen kann z.B. . Es reicht nicht, anzurufen, du machst das ganze schriftlich. Du kannst wohl vorher anrufen und dich erkundigen, wie das am besten auszusehen hat und ob noch irgendetwas zusätzlich eingereicht werden muss.
Umzug ist ja eine einmalige Ausgabe, genauso wie die Kaution für die Wohnung, die du mit einplanen musst. Monatliche Fixkosten sind dann: Miete, Strom, Versicherungen, KFZ (wenn dus hast), Telefon/Internet/Handy, Abo/Verein (falls sowas ist). Ich habe kein Auto und muss deswegen ein Ticket für den ÖPNV bezahlen. Und dann sind natürlich die Kosten für Lebensmittel, Hygiene, Haushaltswaren (Toilettenpapier z.B.), Freizeit, Schule/Ausbildung/Studium (Bücher oder dergleichen).
Das fiel mir jetzt zu deinen Fragen erstmal ein. Aber wie gesagt, es gibt auch richtig gute Checklisten im Internet. Auch für die Frage 3.
Und was du noch bedenken solltest: Selber putzen (jedes Zimmer, auch das Bad ;-) ), Staubsaugen, Geschirr spülen, Wäsche waschen und aufhängen, aufräumen, Treppenhaus putzen (falls du das machen musst), kochen, einkaufen, .... .
Plane für den Umzug nicht nur den Transport deiner Möbel ein. Es kann sein, dass du die neue Wohnung renovieren musst. Vielleicht suchst du dir aber besser eine Wohnung, die in einem guten Zustand ist. Achte darauf (fass ruhig die Wände an), dass die Wände nicht feucht sind (wegen Schimmel), Bad und Küche sollten ordentlich aussehen und nicht wie "30 Jahre benutzt und nie sauber gemacht". Dann achte auf eine normale Heizung, keine Nachtspeicherheizung (das läuft alles über den Strom und du zahlst dich kaputt daran). Und schau darauf, dass du eine eigene Wasseruhr hast (ich glaube das heißt so). So musst du auch nur das Wasser zahlen, welches du selbst verbraucht hast.
Ansonsten kann ich dir nur den Tipp geben, dass du jemanden zur Besichtigung der Wohnung mitnimmst und darauf achtest, dass diese Wohnung nicht über einen Makler vermietet wird (zusätzliche Kosten für Provision). Und sehe dir alle Ecken der Wohnung gut an (wegen bereits vorhandener Schäden) und mache den Vermieter sofort, noch vor Einzug, darauf aufmerksam. Schaue zu, wie er sie alle in ein Protokoll aufnimmt, das beide unterschreiben müssen und lasse dir ein Exemplar aushändigen für deine Unterlagen.