Ich hatte das auch mal und kenne mich auf dem Gebiet auch einigermaßen aus.
peterobm hat da schon Recht, wird wahrscheinlich eine Versottung sein. Das äußert sich genau so, wie du es beschrieben hast: braune, manchmal auch gelbe Flecken und es riecht nicht gerade schön. Das liegt daran, dass der Abgase, die durch den Schornstein nach draußen ziehen sollen, noch im Schornstein ihren Taupunkt erreichen. Und dass bedeutet, dass Wasser, dass sich in den Abgasen befindet, schlägt sich mit vielen, teilweise giftigen Stoffen in deinem Schornstein nieder. Und das sickert dann langsam durch und wird dann von außen als nicht so schöne Flecken sichtbar.
Ich persönlich habe mir in meinen Schornstein einen einwandigen Edelstahlschornstein einbauen lassen. Ich hatte da aber auch eine sehr nette Lieferfirma, die ich jederzeit anrufen konnte und mir bei der Planung meines Schornsteins sehr geholfen hat. Einen einwandigen Edelstahlschornstein einzubauen ist die sauberste und langfristigste Lösung denke ich. Es gibt sicherlich auch andere gute Lösungen, aber ich bin mit der Lösung sehr zufrieden und hatte auch seit dem Einbau keine Probleme mehr.