Hier wurde ja schon bisserl was gesagt, fassen wir mal zusammen:
Generell darfst du in Deutschland umziehen wohin du willst. Das kann dir keiner verbieten, nicht mal das Jobcenter. Ist so im Art. 11 Abs. 1 Grundgesetz geregelt (und hier hat auch mal goldrat recht, ausnahmsweise!). Deshalb ist der Terminus "Umzugsgenehmigung" falsch da ein Umzug nicht genehmigt werden kann.
Allerdings benötigst du eine Zusicherung zum Umzug nach § 22 Abs. 4 SGB II wenn für den Umzug Kosten anfallen die du nicht tragen kannst/willst. Da du in eine andere Stadt ziehen willst und somit in einen anderen Zuständigkeitsbereich ist der neue Träger im Zusicherungsverfahren zu beteiligen. Der aktuelle Träger kann lediglich die Erforderlichkeit des Umzuges zusichern (und das wird in deinem Fall höchstwahrscheinlich nicht geschehen, da musst du schon bessere Argumente bringen als der vermeintlich bessere Arbeitsmarkt oder die vorhandenen sozialen Bindungen. Dein Mann hat hier eine Arbeitsstelle, die müsste er aufgeben und wäre dann in Bayern auch arbeitslos wie du. Einer von euch bräuchte dann schon ein konkretes Beschäftigungsangebot, bestenfalls den schon unterschriebenen Arbeitsvertrag. Was die sozialen Bindungen anbelangt: die hast du bereits in Niedersachsen: deine eigene Familie mit Mann und Sohn! Wo wohnt eigentlich die Familie deines Ehemannes? Sollten diese in Niedersachsen wohnen dann wird deine Begründung zu deiner Familie zu ziehen noch schwächer...), der neue Träger entscheidet, ob die neue Wohnung angemessen ist.
Erfolgt nun der Umzug ohne Zusicherung, werden dir keine Wohnungsbeschaffungskosten (Umzugskosten, Makler, u.ä.) und keine Mietkaution (als Darlehen) gezahlt => § 22 Abs. 6 SGB II. Auch kann es passieren, dass nicht die vollen Wohnungskosten übernommen werden, wenn du ohne Zusicherung umziehst. Nach § 22 Abs. 1 Satz 2 werden dann nur die bisherigen Kosten deiner alten Wohnung gezahlt. Andererseits wenn die neue Wohnung günstiger ist, dann werden die tatsächlichen Kosten gezahlt. Hier gilt auch nicht die Schonfrist von 6 Monaten nach § 22 Abs. 1 Satz 3 SGB II.
Allerdings muss man auch sagen, dass es Jobcenter gibt, die relativ schnell dir eine Zusicherung geben, egal welchen Grund du anführst. Du wärst dann eine Akte weniger ;-) Vielleicht einfach mal die Zusicherung beantragen (im Vorfeld ggf. dir die Angemessenheit der neuen Wohnung durch das neue Jobcenter bestätigen lassen) und sollte abgelehnt werden einfach mal Widerspruch einlegen. Manchmal klappt das.
Und wie gesagt: umziehen dürft ihr immer, müsst nur dann selbst die Kosten tragen.