Verboten ist das nicht. Ich habe mich auch mit meinem "neuen" Namen beworben. Der "alte" Name steht allerdings auf allen Dokumenten und Zeugnissen, weil ich meinen Namen noch nicht offiziell geändert habe, also habe ich in den Lebenslauf unten rein geschrieben, dass ich trans bin und mein Name noch nicht offiziell geändert wurde. Somit war klar, wieso in den Unterlagen 2 verschiedenen Namen stehen.
Ich wurde bei Antworten auf meine Bewerbungen dann meistens erst mal gefragt welche Anrede richtig ist und damit hat sich das geklärt. Habe bei der Firma, bei der ich angefangen habe zu arbeiten, dann auch direkt mit meinem "neuen" Namen anfangen können zu arbeiten.