zeitdilatation formel?
Hallo, zur Zeitdilatation kenne ich folgende Formel:
Nun habe ich ein Beispiel gefunden, bei dem die Halbwertszeit von in Bewegung stehehnden Teilchen berechnet wird, wobei die Halbwertszeit im Ruhezustand 1.52ms beträgt.
Die Formel hierfür sieht wie folgt aus:
Nun zu meiner Frage:
Ich berechne ja quasi bei beiden Formeln den gleichen Wert, wieso also unterscheiden sich die Formeln, indem der Wurzelausdruck einmal im Zähler und einmal im Nenner steht?
3 Antworten
Es handelt sich nicht um verschiedene Formeln, sondern nur um eine Umstellung der gleichen Formel:
Zeitdilatation:
t(bewegt) = t(ruhe)*wurzel(...)
t(bewegt) < t(ruhe)
In der ersten Formel entspricht t' = t(bewegt) und t = t(ruhe).
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Somit gilt für die Halbwertszeit das reziproke Ergebnis:
tH(ruhe) = tH(bewegt)*wurzel(...)
tH(bewegt) = tH(ruhe) / wurzel(...)
Im Falle eines Myons gilt:
tH(bewegt) = 44.6 ms mit v = 0,99942 c
tH(ruhe) = 1.52 ms
Hallo robo8540,
das Wort "Zeitdilatation" ist irreführend. Gemeint ist damit die durch die Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie (SRT/ART) vorausgesagten Diskrepanz zwischen der
- Eigenzeit, der von einer "lokalen" Uhr Ώ direkt gemessenen Dauer Δτ eines in ihrer Nähe stattfindenden Vorgangs, und der
- U- Koordinatenzeit, seiner von einer Bezugsuhr U aus – i.Allg. auf Distanz – ermittelte (d.h. aus Messwerten berechnete) Dauer Δt. Sie ist – wie der Name schon sagt, eine Koordinatendifferenz in einem von U aus konstruierten – raumzeitlichen –Koordinatensystem Σ.
In der NEWTONschen Mechanik (NM) sind Eigenzeit und Koordinatenzeit gleich; dennoch sollte man sie begrifflich unterscheiden, um dann leichter zur SRT übergehen zu können.
"Zeitdilatation" ist eigentlich eine Projektion; die Koordinatenzeit ist geometrisch betrachtet die Projektion eines Vorgangs in der Nähe von Ώ auf die Weltlinie (WL) von U. Sie ist ein Nebeneffekt der Relativität der Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse, auf die ich weiter unten eingehen werde. Bewegt sich Ώ mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v *), so wollen wir sie U' nennen.
Fortbewegung ist relativNun habe ich ein Beispiel gefunden, bei dem die Halbwertszeit von in Bewegung stehehnden Teilchen berechnet wird, wobei die Halbwertszeit im Ruhezustand 1.52ms beträgt.
Es gibt gar nicht das ruhende (bzw. nur langsam bewegte) und das bewegte Teilchen. Laut GALILEIs Relativitätsprinzip (RP), das es schon in der NEWTONschen Mechanik (NM) gibt, können wir U' als ruhend ansehen. In einem von U' aus konstruierten, räumlich wie Σ ausgerichteten Koordinatensystem Σ' bewegt sich eben U mit −v.
Die Geschwindigkeit ist ein Beispiel für physikalischer Größen, deren Werte davon abhängen, in welchem Koordinatensystem sie ausgedrückt werden. GALILEIs RP besagt jedoch, dass die grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen (nichts anderes sind Naturgesetze) nicht davon abhängen.
GALILEI meets MAXWELL:Zu denen gehören auch MAXWELLs Grundgleichungen der Elektrodynamik und damit auch auf seine elektromagnetische Wellengleichung, die das Lichttempo c enthält. Das bedeutet: Was sich relativ zu U mit dem Lichttempo c bewegt das bewegt sich auch relativ zu U' mit c. Darauf baut die SRT auf.
Im Folgenden werden wir Natürliche Einheiten verwenden, bei denen Strecken durch Zeitspannen und Tempos durch %, ‰, ppm (Millionstel) und ppb (Milliardstel) von c ausdrücken. Ein 30cm- Schullineal ist etwa 1ns lang, meine Gehgeschwindigkeit liegt etwas über 4ppb.
Welche Zeitspanne ist welche?Ich berechne ja quasi bei beiden Formeln den gleichen Wert, wieso also unterscheiden sich die Formeln, indem der Wurzelausdruck einmal im Zähler und einmal im Nenner steht?
Die erste Formel hätte ich eher
(1.1) Δt' = Δt∙√{1 − v²}
geschrieben, weil es sich um Zeitspannen handelt, also um die Zeitdifferenz zwischen Anfang und Ende des Vorgangs: Δt = t₂ − t₁, wobei t₁ den Anfang und t₂ das Ende eines Vorgangs bezeichnet.
Wenn wir annehmen, dass sich U' mit derselben Geschwindigkeit (wieder einschließlich ihrer Richtung) bewegt wie das Teilchen, kannst Du Δt' mit Tₕ(0) gleichsetzen, und da sich U' und das Teilchen mit dem Tempo v relativ zu U bewegen, ist Δt = Tₕ(v). Somit wird (1.1) zu
(1.2) Tₕ(0) = Tₕ(v)∙√{1 − v²}.
Teilst Du dann beide Seiten durch den Wurzel, erhältst Du die zweite Gleichung.
Relativität der GleichzeitigkeitHierfür wollen wir ein Zahlenbeispiel verwenden.
Wir stellen uns vor, U sei Borduhr eines Raumfahrzeugs B, das bei x = 0 auf einer Linie mit zwei anderen Raumfahrzeugen A bei x = −d und C bei x = d liegt. Dabei kann z.B. d = 2 Lichtminuten sein.
U' sei die Borduhr eines Raumfahrzeugs B', das nacheinander A, B und C passiert, mit v = 0,6 – in Σ ausgedrückt. In Σ' ausgedrückt passieren A, B und C als Konvoi nacheinander B'.
Alle Raumfahrzeuge stehen in Sicht- und Funkkontakt. Wir interessieren uns für zwei Signale von A und C, die B und B' in dem Moment t₀ bzw. t'₀ erreichen, in dem sie aneinander vorbei kommen: Wann wurden sie abgesandt?
In Σ ist die Sache klar: beide Signale wurden zur Zeit t₀ − d⁄c abgeschickt, respektive t₀ − d, wenn man Natürliche Einheiten verwendet. Das heißt, bei Empfang sind beide Signale in unserem Beispiel 2 Minuten alt. Von B' aus wird C weiter entfernt aussehen als A, ein Effekt, den man Aberration nennt. Man kennt das vom Fahrradfahrem im Regen: Eigentlich senkrecht fallender Regen kommt für den Fahrer tendenziell mehr von vorn.
Mit Σ' als Bezugssystem müssen wir davon ausgehen, dass C zur Zeit der Absendung seines Signals um den Faktor
(2) K² := (1 + v)/(1 − v)
– was bei v = 0,6 gleich 4 ist – weiter von B entfernt war als A. Dass C weiter entfernt aussieht, ist nach dieser Definition also nicht Aberration, sondern ein Retardierungseffekt ("retardiert" heißt so viel wie "verzögert", weil Licht mit Verzögerung eintrifft und man das Raumfahrzeug daher woanders sieht als es ist).
Genauer: Die Entfernung von A zum Zeitpunkt der Absendung beträgt d⁄K (in unserem Zahlenbeispiel also 1 Lichtminute, die von C beträgt d∙K, in unserem Zahlenbeispiel also 4 Lichtminuten. Dementsprechend unterschiedlich sind in Σ' daher die Zeitpunkte, nämlich t'(C) = t'₀ − d∙K bzw. t'(A) = t'₀ − d⁄K.
Abb.: Diagramm zur Relativität der Gleichzeitigkeit
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*) Die Geschwindigkeit (engl. velocity) ist eine Vektorgröße, eine Größe mit Richtung. Ein räumlicher Vektor lässt sich in maximal 3 Komponenten zerlegen. Wenn ich von der 1D- Geschwindigkeit rede, ist gemeint, dass wir unsere Koordinatensysteme so ausrichten, dass die Richtung der Geschwindigkeit parallel zu einer seiner Achsen verläuft. So braucht man nur eine Zahl, die auch negativ sein kann (das bezeichnet dann eine Bewegung in Gegenrichtung). Den Betrag der Geschwindigkeit (engl. speed) kann man auf Deutsch das Tempo nennen; auch die Lichtgeschwindigkeit ist eigentlich ein Tempo, welches mit c bezeichnet wird.
es kommt auf den Standpunkt an. Für den ungestrichenen Beobachter vergeht in seiner Zeit weniger gestrichene Zeit. Darum muss er in seiner Zeit länger warten, bis im gestrichenen System die Hälfte der Atome zerfallen ist.