Zeigen Sie, dass auf die Beschränktheit von bn nicht verzichtet werden kann?
Die Ausgangslage ist die Aussage, dass wenn an eine Nullfolge und bn eine beschränkte Folge ist, abn ebenfalls eine Nullfolge ist. Das haben wir bewiesen und nun soll gezeigt werden, dass für diesen gesamten Beweis bn beschränkt sein MUSS.
!Der Ansatz wäre, die ganze Rechnung quasi noch einmal zu machen aber stattdessen mit einer unbeschränkten Folge. Ein Gegenbeispiel also!
Nur leider habe ich keine Ahnung, wie ich daran gehe, da ich den vorherigen Beweis schon nur mäßig verstanden habe. Als unbeschränkte Folge kann ein beliebiges Beispiel verwendet werden. Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank schon eimal im Voraus!
2 Antworten
Tipp:
Nimm eine ganz einfache Nullfolge, und zwar a_n = 1/n
Wähle nun eine Folge (b_n) sodass a_n*b_n entweder konstant (und nicht 0) ist oder gegen unendlich geht.
Dafür musst du sogar nichtmal den Beweis verstanden haben.
"... wenn an eine Nullfolge und bn eine beschränkte Folge ist, abn ebenfalls eine Nullfolge ist. Das haben wir bewiesen und nun soll gezeigt werden, dass für diesen gesamten Beweis bn beschränkt sein MUSS." - sagst du... Vorsicht:
Wenn du meinst, dass für das Funktionieren des Beweises die Folge (b_n) als beschränkt vorausgesetzt werden muss [so liest sich deine Frage am ehesten], so muss man den Beweis sehen, um das entscheiden zu können.
Wenn du aber meinst, dass ohne die Voraussetzung der Beschränktheit der Folge (b_n) die Produktfolge (a_n·b_n) keine Nullfolge sein kann [so liest sich deine Frage nicht], so lässt sich leicht feststellen, dass das falsch ist: Wähle a_n = 1/(n²) und b_n = n.
Mit anderen Worten: Dafür, dass die Produktfolge eine Nullfolge ist, ist die Beschränktheit von (b_n) nicht notwendig, aber hinreichend. Deswegen kann für einen korrekten Beweis durchaus auch eine schwächere Voraussetzung genügen. Ob allerdings der bei euch geführte Beweis ohne die vorausgesetzte Beschränktheit nicht auskäme, ist ohne Kenntnis desselben nicht zu entscheiden.
Ich nehme es aber an, denn durch diese "Standard"-Voraussetzung wird der Beweis erstens ganz einfach und führt zweitens zu einer sehr oft nützlichen Aussage, auch wenn diese noch unter allgemeineren Voraussetzungen wahr wäre.
(Aber was ist denn an dem Beweis schwer zu verstehen, wenn es ein C>0 gibt mit |b_n| < C für alle n? Dann ist doch |a_n·b_n| < |a_n|·C . Wählst Du (aufgrund der Nullfolgeneigenschaft von (a_n)) zu gegebenem eps>0 ein N, so dass für alle n>N gilt: |a_n| < eps/C, so folgt für alle n>N :
|a_n·b_n| < |a_n|·C < (eps/C)·C = eps,
also ist (a_n·b_n) eine Nullfolge.)
Übrigens: Ganz verzichten - im Sinn von "ersatzlos streichen" - kann man auf die Beschränktheit von (b_n) natürlich nicht. (Wähle a_n=1/n und b_n=n oder - noch schlimmer - b_n=n².) Aber durch eine schwächere Bedingung ersetzen - das ginge schon... (nur würde die bewiesene Aussage dann weniger "griffig").