Zeigen dass für alle n ∈ N, alle 0 ≤ k ≤ n und alle a, b ∈ R gilt?

moin, ich muss zeigen, dass das Folgende für alle n ∈ N, alle 0 ≤ k ≤ n und alle a, b ∈ R gilt? ich muss gestehen ich bin komplatt verloren bei der Aufgabe.

würde mich freuen wenn mir jemand helfen würde :-D

$a^{n+1}-b^{n+1}=\left(a-b\right)\sum_{k=0}^na^{n-k}b^k$

Comments

[petronex]

Bist du sicher, dass du die Aufgabenstellung richtig abgeschrieben hast? Für a=2 und b=0 stimmt die Gleichung nämlich nicht, da 2^n ungleich 2 ist

[sternwars]

hab gerade nochmal überprüft und ja habe ich

Answer 1

[DummeStudentin]

Du musst zeigen, dass die folgende Gleichung für alle n ∈ N, alle 0 ≤ k ≤ n und alle a, b ∈ R gilt:

$a^{n+1} − b^{n+1} =(a−b) \sum_{k=0}^n a^{n−k} b^k$

Das ist eine Spezialform des binomischen Lehrsatzes, der besagt, dass für alle Elemente und eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen die Gleichung gilt:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k$

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten, die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben.

Um die Gleichung zu beweisen, kannst du vollständige Induktion verwenden. Das heißt, du musst drei Schritte machen:

1. Induktionsanfang: Zeige, dass die Gleichung für n = 0 gilt.
2. Induktionsvoraussetzung: Nimm an, dass die Gleichung für ein beliebiges n gilt.
3. Induktionsschritt: Zeige, dass aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass die Gleichung auch für n + 1 gilt.

Ich kann dir ein Beispiel geben, wie du den Induktionsschritt machen kannst:

Induktionsschritt: Annahme: Die Gleichung gilt für ein beliebiges n.

Behauptung: Die Gleichung gilt auch für n + 1.

Beweis: Durch Verwenden der Annahme gilt:

$(a+b)^{n+1} = (a+b) (a+b)^n = (a+b) \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k$

(1. Anwenden des Distributivgesetzes)

$= a \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k + b \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k$

(2. Hineinmultiplizieren der Faktoren a , b in die jeweilige Summe)

$= \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n+1-k} b^k + \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k+1}$

(3. Indexverschiebung des linken Summanden)

$= a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n+1} {n \choose k-1} a^{n+1-k} b^k + \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k+1}$

(4. je einen Summanden aus der Summe herausziehen)

(5. Summen addieren und Distributivgesetz anwenden)

$= a^{n+1} + (a-b) \sum_{k=1}^{n+1} {n \choose k-1} a^{n-k+1} b^{k-1}$

(6. Anwenden der Identität ${n \choose k-1} + {n \choose k} = {n+1 \choose k}$ )

$= a^{n+1} + (a-b) \sum_{k=0}^{n+1}{ n+1 \choose k } a^{(n+1)-k } b^k - b^{(n+1)}$

(7. je einen Summanden in die Summe hineinziehen)

$= (a-b) \sum_{k=0}^{(n+1)}{ n+1 \choose k } a^{(n+1)-k } b^k$

Damit ist der Induktionsschritt bewiesen.

Ich hoffe, das hilft dir weiter

Quelle: ChatGPT

Woher ich das weiß: Recherche

Comments

[Tannibi]

Induktionsvoraussetzung: Nimm an, dass die Gleichung für ein beliebiges n gilt.

Das sollst du beweisen. Darum kannst du es nicht voraussetzen.

[DummeStudentin]

@Tannibi

Doch, so funktioniert ein Induktionsbeweis.

[martrud]

Ich vermute sehr, dass das auch deutlich einfacher geht und dass man auch keine Binomialkoeffizienten und schon gar keine "unitären Ringe" bemühen muss. Was letzterer Ausdruck bedeutet, wusste ich möglicherweise mal vor bald 50 Jahren vor irgendeiner Prüfung .....

[Willy1729]

@martrud

Natürlich geht das einfacher. Die Binomialkoeffizienten sind völlig überflüssig.

ChatGPT liefert gerade, was Mathematik anbelangt, viel Müll ab.

[ZuNiceFrage]

Hat ChatGPT das alles gemacht, auch die Gleichungen?
(Also welchen Anteil?)

[DummeStudentin]

@ZuNiceFrage

ChatGPT hat die Gleichungen als LaTeX Code ausgegeben. Ich habe die Gleichungen nur noch in den Formeleditor eingefügt, sodass sie hier schön dargestellt werden.

Ich war selbst überrascht, dass es keine Syntaxfehler gab.

Answer 2

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Das ist eine Teleskopsumme.

Ausmulitplizieren: $\left(a - b\right) \left(\sum_{k=0}^n a^{n-k}b^k\right) = \sum_{k=0}^n a^{n - k + 1}b^k - \sum_{k=0}^n a^{n-k}b^{k+1}$

In der ersten Summe den ersten Summanden (k = 0) und in der zweiten Summe den letzten Summanden abspalten (k = n): $= a^{n+1} + \sum_{k=1}^n a^{n - k + 1}b^k - \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k}b^{k+1} - b^{n+1}$

Indexverschiebung in der zweiten Summe: $= a^{n+1} + \sum_{k=1}^n a^{n - k + 1}b^k - \sum_{k=1}^{n} a^{n-k +1}b^{k} - b^{n+1}$ $= a^{n+1} - b^{n+1}$ $a^{n+1 - k}b^k - a^{n-k}b^{k+1}$

Answer 3

[Willy1729]

Hallo,

zunächst solltest Du Dir klarmachen, worum es hier überhaupt geht.

Im Grunde genommen ist es die dritte binomische Formel für alle n, nicht nur für n=2, wie man sie aus der Schule kennt:

a²-b²=(a-b)*(a+b). Genau das kommt heraus, wenn Du in die obige Summenformel für n eine 1 einsetzt.

Der Witz bei der Sache ist, daß Du den Term (a-b) bei allen Termen der Art a^(n+1)-b^(n+1) ausklammern kannst, und dann ene Restsumme bekommst, die nach einem bestimmten Schema aufgebaut ist. Du bekommst nämlich eine Summe aus lauter Produkten von Potenzen von a und b derart, daß zunächst a^nb^0 erscheint, dann als nächster Summand a^(n-1)b^1, dann a^(n-2)b^2 usw. bis Du schließlich bei a^0b^n angelangt bist. Diese Restsumme sieht ähnlich aus, als würdest Du (a+b)^n ausmultiplizieren - nur ohne die Binomialkoeffizienten davor.

Beweisen läßt sich das entweder darüber, daß man die Summe auf der rechten Seite in zwei Teilsummen aufteilt, nämlich in a*Summe minus b*Summe, und dann durch Indexverschiebungen und Abspaltungen einzelner Summanden zeigt, daß sich bis auf a^(n+1)-b^(n+1) das ganze Summenzeugs aufhebt.

So hat es Mathmaninoff in seiner korrekten Antwort gemacht und Dir einen sehr eleganten Beweis gezeigt. Du kannst es auch über die vollständige Induktion machen - aber nicht wie ChatGPT, denn das ganze Gedöns mit den Binomialkoeffizienten kannst Du Dir schenken, sondern auch durch Abspalten einzelner Summanden und durch Indexverschiebungen.

Du mußt dann zeigen, daß der Schritt von
a^(n+1)-b^(n+1)=(a-b)*Σ[k=0;n](a^(n-k)b^k)) zu
a^(n+2)-b^(n+2)=(a-b)* Σ[k=0;n+1](a^(n-k+1)b^k)) gültig ist.

Auch hier solltest Du zunächst die Klammer (a-b) nach dem Distibutivgesetz auflösen und die Summe so in zwei Einzelsummen aufspalten.

Danach könntest Du -b^(n+1) auf die andere Seite bringen, danach beide Seiten mit a multiplizieren, um links auf a^(n+2) zu kommen. Dabei aufpassen, was zur Summe gehört und was nicht und auch das b^(n+1) mit a zu multiplizieren.

Wenn Du den Index der Summen nicht bis n, sondern bis n+1 gehen läßt und anschließend den Summanden für k=n+1 wieder abziehst, werden sich ebenfalls störende Produkte auflösen.

Herzliche Grüße,

Willy