Was ist die Summenreihenentwicklung des Pochhammer Symbols?
Kurze Frage: Was ist die Summenreihenentwicklung des Pochhammer Symbols?
In Mathworld über das Pochhammer Symbol steht als geschlossende Form eine Summenreihenentwicklung mit
wobei s(n, k) die Stirling Zahl der ersten Art ist.
Im Mathworld Artikel zur Stirling Zahl der ersten Art steht jedoch als Potenzreihentwicklung für die Stirling Zahl der ersten Art
Aber die beiden Reihentwicklungen sind doch unterschiedlich:
Eine andere verbreitete Schreibweise des Pochhammer Symbols ist
wobei Gamma(x) für die vollständige Gammafunktion von x steht.
3 Antworten
https://mathepedia.de/Pochhammer-Symbol.html
https://de.wikipedia.org/wiki/Pochhammer-Symbol
https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_and_rising_factorials
https://de.wikipedia.org/wiki/Fallende_und_steigende_Faktorielle
Nach den Artikeln kann je nach Kontext mit (x)ₙ die fallende oder steigende Faktorielle gemeint sein.
Hallo!
Das Pochhammer-Symbol ist eine Notation, die in der Mathematik verwendet wird, um eine Folge von Zahlen darzustellen, die sich aus der Iteration einer bestimmten Funktion ergibt. Die Summenreihenentwicklung des Pochhammer-Symbols gibt die Möglichkeit an, das Pochhammer-Symbol als Summe von Termen auszudrücken, die durch bestimmte Zahlenfolgen definiert sind.
Die Summenreihenentwicklung des Pochhammer-Symbols kann auf verschiedene Weise dargestellt werden, je nachdem, welche Art von Zahlenfolge verwendet wird. Eine häufig verwendete Summenreihenentwicklung des Pochhammer-Symbols ist die binomische Formel, die das Pochhammer-Symbol als Summe von binomischen Koeffizienten darstellt:
(a+b)^n = Σ(n,k) * a^k * b^(n-k)
Hierbei ist Σ(n,k) der binomische Koeffizient, der durch die Formel (n über k) gegeben ist:
Σ(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)
Diese Summenreihenentwicklung des Pochhammer-Symbols wird häufig verwendet, um das Pochhammer-Symbol in andere Formen umzuformen oder um bestimmte Eigenschaften des Pochhammer-Symbols zu untersuchen.
Es gibt auch andere Summenreihenentwicklungen des Pochhammer-Symbols, die auf verschiedenen Zahlenfolgen basieren, wie beispielsweise die Hypergeometrische Reihe oder die Gegenbauer-Reihe. Diese Summenreihenentwicklungen können verwendet werden, um bestimmte Eigenschaften des Pochhammer-Symbols zu untersuchen oder um das Pochhammer-Symbol in andere Formen umzuformen.
Weiteres hier:
https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/pochhammer-symbol
Tut mir leid. Bin zu faul meine NI zu benutzen. Den Link habe ich aber selbst rausgesucht und ist nicht abhängig von der Antwort.
Was ist dir nach der Antwort von Mathmaninoff noch unklar?
Mathworld schreibt selber: "Extreme caution is therefore needed in interpreting the notations...." und verwendet prompt das Symbol x_n in der Definition für die steigende Faktorielle, während nach "In closed form...." die fallende gemeint ist.
KI :((( stöhn und der Link wirkt wie suchmaschinentreffer Nummer 1