Anormal komplexe Zahlen Polarform?
Hallo!
Ich lerne zurzeit die anormal komplexen Zahlen und wollte wissen, ob die auch eine Art "Polarform" haben.
Ich denke nicht, dass sie wie bei den Komplexen Zahlen in der Form
oder ähnlich geschrieben werden können, aber gibt es eine andere Schreibweise? Und wenn ja, welche?
Danke!
1 Antwort
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
höhere Mathematik, komplexe Zahlen, Mathematik
Du hast ja schon bei Quaternionen eine im eigentlichen Sinne nicht Polarform als Polarform genommen. Sie war der Form q = A * exp(B * j)
Deswegen werde ich das ganze einmal allgemeiner sagen: Das sind alles normale Gleichungen. Du definierst einer der Komponenten und löst nach der anderen. Wenn du herausfinden willst was ein hyperkomplexe exponenziert ergibt, nutzt du einfach nur die Taylorreihe um x=0 her rum von exp(x) und setzt deine Zahl da ein.
Die Form z = |z| * exp(B * j)
Sagen wir, dass $z$ eine Split-Komplexe Zahl (ich nenne ihre Menge einfach mal $\mathbb{C}\overline{^{*}}$ gegeben durch $z = \Re\left( z \right) + \Im\left( z \right) \cdot j$ mit $j^{2} = 1 \wedge j \ne 1$.
Nehmen wir an, dass wir eine "Polarform" haben, in der wir den absoluten Wert von $z$ ablesen wollen können, dann ist das in der Form $z = \left| z \right| \cdot e^{B \cdot j}$ mit $B \in \mathbb{C}\overline{^{*}} \wedge \left| z \right| = \sqrt{\left( \Re\left( z \right) \right)^{2} + \left( \Im\left( z \right) \right)^{2}}$. Damit folgt, wenn wir keine Vorkenntnisse über imaginäre Einheiten deren Quadrat negativ ist voraussetzen:
$$
\begin{align*}
z &= \left| z \right| \cdot e^{B \cdot j} \quad\mid\quad :\left| z \right|\\
\frac{z}{\left| z \right|} &= e^{B \cdot j}\\
\operatorname{sgn}\left( z \right) &= e^{B \cdot j} \quad\mid\quad \ln\left(
\cdot \right)\\
\ln\left( \operatorname{sgn}\left( z \right) \right) &= B \cdot j \quad\mid\quad :j\\
\ln\left( \operatorname{sgn}\left( z \right) \right) \cdot j &= B\\
\end{align*}
$$
Sagen wir, dass $z$ eine Split-Komplexe Zahl (ich nenne ihre Menge einfach mal $\mathbb{C}\overline{^{*}}$ gegeben durch $z = \Re\left( z \right) + \Im\left( z \right) \cdot j$ mit $j^{2} = 1 \wedge j \ne 1$.
Nehmen wir an, dass wir eine "Polarform" haben, in der wir das Argument und den Absoluten Wert von $z$ ablesen wollen können, dann ist das in der Form $\left| z \right| \cdot e^{\arg\left( z \right) \cdot j}$ mit $B \in \mathbb{C}\overline{^{*}} \wedge \arg\left( z \right) = \operatorname{arctan2}\left( \Im\left( z \right),\, \Re\left( z \right) \right) \wedge \left| z \right| = \sqrt{\left( \Re\left( z \right) \right)^{2} + \left( \Im\left( z \right) \right)^{2}}$. Damit folgt, wenn wir keine Vorkenntnisse über imaginäre Einheiten deren Quadrat negativ ist voraussetzen:
$$
\begin{align*}
e^{z} &= e^{\Re\left( z \right) + \Im\left( z \right) \cdot j}\\
e^{z} &= e^{\Re\left( z \right)} \cdot e^{\Im\left( z \right) \cdot j}\\
e^{z} &= e^{\Re\left( z \right)} \cdot \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{k!} \cdot \left( \Im\left( z \right) \cdot j \right)^{k} \right]\\
e^{z} &= e^{\Re\left( z \right)} \cdot \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{k!} \cdot \left( \Im\left( z \right) \right)^{k} \cdot j^{k} \right]\\
e^{z} &= e^{\Re\left( z \right)} \cdot \left( \underbrace{\sum\limits_{2 \cdot k = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{k!} \cdot \left( \Im\left( z \right) \right)^{k} \cdot j^{k} \right]}_{\text{gerade Exponenten}} + \underbrace{\sum\limits_{2 \cdot k + 1 = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{k!} \cdot \left( \Im\left( z \right) \right)^{k} \cdot j^{k} \right]}_{\text{ungerade Exponenten}} \right)\\
e^{z} &= e^{\Re\left( z \right)} \cdot \left( \underbrace{\sum\limits_{2 \cdot k = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{k!} \cdot \left( \Im\left( z \right) \right)^{k} \cdot 1 \right]}_{\text{gerade Exponenten}} + \underbrace{\sum\limits_{2 \cdot k + 1 = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{k!} \cdot \left( \Im\left( z \right) \right)^{k} \cdot j \right]}_{\text{ungerade Exponenten}} \right)\\
e^{z} &= e^{\Re\left( z \right)} \cdot \left( \underbrace{\sum\limits_{2 \cdot k = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{k!} \cdot \left( \Im\left( z \right) \right)^{k} \right]}_{\text{gerade Exponenten}} + \underbrace{\sum\limits_{2 \cdot k + 1 = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{k!} \cdot \left( \Im\left( z \right) \right)^{k} \cdot j \right]}_{\text{ungerade Exponenten}} \right)\\
e^{z} &= e^{\Re\left( z \right)} \cdot \left( \underbrace{\sum\limits_{2 \cdot k = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{k!} \cdot \left( \Im\left( z \right) \right)^{k} \right]}_{\text{gerade Exponenten}} + \underbrace{\sum\limits_{2 \cdot k + 1 = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{k!} \cdot \left( \Im\left( z \right) \right)^{k} \right]}_{\text{ungerade Exponenten}} \cdot j \right)\\
e^{z} &= e^{\Re\left( z \right)} \cdot \left( \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{\left( 2 \cdot k \right)!} \cdot \left( \Im\left( z \right) \right)^{2 \cdot k} \right] + \sum\limits_{2 \cdot k + 1 = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{\left( 2 \cdot k + 1 \right)!} \cdot \left( \Im\left( z \right) \right)^{2 \cdot k + 1} \right] \cdot j \right)\\
e^{z} &= e^{\Re\left( z \right)} \cdot \left( \cosh\left( \Im\left( z \right) \right) + \sinh\left( \Im\left( z \right) \right) \cdot j \right)\\
\end{align*}
$$
Soooo... Erste Antwort heute und das auch war direkt genug Mathe für heute... x)