Was ist i*j?
Hallo!
Ich lerne gerade(Ich kenne den deutschen Begriff nicht) Split-Complex Numbers. Also die Komplexen Zahlen, die man in der Form a+bj schreibt, mit j² = 1. (Also nicht das j von den Quaternionen) Ich wollte jetzt fragen, welche Zahl rauskommt, wenn ich die Imaginäre Einheit i mal die imaginäre Einheit j rechne. Ich denke, da kommt eine neue imaginäre Einheit raus. Oder?
Danke!
Habe mich verlesen.
Ich habe mich vertan. Ich meinte j²=1.
Und wenn es -1 wäre, dann wäre j das j von den Quaternionen. Und dadurch nicht i. Hier ist ein Beispiel: 1² = 1 und (-1)² = 1. Aber -1 != 1.
2 Antworten
"Das Ergebnis" wäre weder im Körper der komplexen Zahlen noch im Körper der Split-komplexen Zahlen. Das ist ein Fall für eine Verallgemeinerung: die Hyperkomplexen Zahlen
Nur weil das in den beiden Körper nicht rechenbar ist, hindert uns nichts daran einen "neuen" Körper einzuführen (der ist nicht neu, sondern sogar gut erforscht).
Du könntest zum Berechnen die Matrix-Repräsentation dieser imaginären Einheiten nutzen:
https://en.wikipedia.org/wiki/Split-complex_number
Damit erhalten wir:
Die komplexen Zahlen $z \in \mathbb{C}$ haben eine Matrixreprästentation gegeben durch: $$z = a + b \cdot i ~\hat{=}~ \begin{pmatrix} a & b\\ -b & a\\\end{pmatrix}$$
Die split-komplexen Zahlen $\tilde{z} \in \mathbb{C}^{*}$ haben eine Matrixreprästentation gegeben durch: $$\tilde{z} = \tilde{a} + \tilde{b} \cdot j ~\hat{=}~ \begin{pmatrix} \tilde{a} & \tilde{b}\\ \tilde{b} & \tilde{a}\\\end{pmatrix}$$
Damit folgt für das Produkt von komplexne und split-komplexen Zahlen:
$$
\begin{align*}
z \cdot \tilde{z} &= \left( a + b \cdot i \right) \cdot \left( \tilde{a} + \tilde{b} \cdot j \right)\\
z \cdot \tilde{z} &= a \cdot \tilde{a} + a \cdot \tilde{b} \cdot j + \tilde{a} \cdot b \cdot i + b \cdot \tilde{b} \cdot i \cdot j\\
z \cdot \tilde{z} &= a \cdot \tilde{a} + a \cdot \tilde{b} \cdot j + \tilde{a} \cdot b \cdot i + b \cdot \tilde{b} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\\end{pmatrix}\\
z \cdot \tilde{z} &= a \cdot \tilde{a} + a \cdot \tilde{b} \cdot j + \tilde{a} \cdot b \cdot i + b \cdot \tilde{b} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\\end{pmatrix}\\
z \cdot \tilde{z} &= a \cdot \tilde{a} + a \cdot \tilde{b} \cdot j + \tilde{a} \cdot b \cdot i + b \cdot \tilde{b} \cdot \mathscr{K}\\
\end{align*}
$$
Das Schlängel K (mathscr(K)) ist deine neue imaginäre Einheit.
Zumindest einem der möglichen. Es gibt schließlich verschiedene Matrizen und somit verschiede Möglichkeiten ihr Produkt zu definieren. Unter den diesen K kann man sich nicht gerade viel vorstellen, deswegen lass es mich einmal in Term deiner Definitionen bringen (i² = -1 und j² = 1):
$$
\begin{align*}
\mathscr{K}^{2} &= \mathscr{K} \cdot \mathscr{K}\\
\mathscr{K}^{2} &= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\\end{pmatrix}\\
\mathscr{K}^{2} &= \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\\end{pmatrix}}_{I = 1}\\
\mathscr{K}^{2} &= 1\\
\\
\mathscr{K} &\ne j\\
$$
Du meinst die
https://de.wikipedia.org/wiki/Anormal-komplexe_Zahl
Du kannst nicht einfach komplexe und anormal-komplexe Zahlen mixen. Im Körper der komplexen Zahlen gibt es kein j mit (1- j)(1+ j) = 0, das ist wegen der Nullteilerfreiheit ausgeschlossen. Ebenso gibt es im Ring der Anormal-komplexen Zahlen kein i mit i^2 = -1. Damit ist i*j schlicht nicht definiert.