Zahl dividieren mit Quersumme?

Dividiert man eine dreistellige Zahl durch ihre Quersumme, so entsteht dabei in der Regel ein Rest.

Beispiele:

712 : 10 = 71 Rest 2

638 : 17 = 37 Rest 9

711 : 9 = 79 Rest 0

Aufgabe:

Bei welcher Zahl erhält man den größtmöglichen Rest?

Was ist die Lösung? ich komm nicht drauf

Answer 1

[mihisu]

Die größtmögliche Quersumme ist 9 + 9 + 9 = 27. Demnach wäre der größte denkbare Rest zunächst 26. Die einzige Zahl mit Quersumme 27 ist jedoch 999 und da ist...

999 : 27 = 37 Rest 0

Die nächstkleinere Quersumme wäre 26 (was dann maximal den Rest 25 liefern könnte). Das wäre für 899, 989, 998 möglich.

899 : 26 = 34 Rest 15
989 : 26 = 38 Rest 1
998 : 26 = 38 Rest 10

Auch da wird der maximal denkbare Rest nicht erreicht. Die nächstkleinere Quersumme ist 25, für die Zahlen 799, 979, 997, 889, 898, 998. Hier wäre 24 als maximaler Rest denkbar.

799 : 25 = 31 Rest 24

Tatsächlich hat man bei 799 den größtmöglichen denkbaren Rest erreicht. Man kann nun noch die restlichen Zahlen (979, 997, 889, 898, 998) überprüfen, ob 799 vielleicht nicht die einzige Zahl ist, bei der man 24 als Rest erhält.

979 : 25 = 39 Rest 4

997 : 25 = 39 Rest 22

889 : 25 = 35 Rest 14

898 : 25 = 35 Rest 23

988 : 25 = 39 Rest 13

Ergebnis: Die gesuchte Zahl ist 799 und der größtmögliche solche Rest ist 24.

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Alternativ könnte man auch einfach ein kurzes Programm schreiben, das alle dreistelligen Zahlen durchgeht. Beispielsweise liefert das folgende Python-Skript...

max_n = [0]
max_r = 0
for n in range(100, 1000):
    qs = sum([int(c) for c in str(n)])
    r = n % qs
    if r > max_r:
        max_n = [n]
        max_r = r
    elif r == max_r:
        max_n.append(n)
print(max_n, max_r)

... den Output...

[799] 24

So kann man auch erkennen, dass 799 die gesuchte Zahl und 24 der entsprechende Rest ist.