Wurzel 3 irrational?
Hallo, ich muss auf morgen beweisen können, dass Wurzel 3 irrational ist.
Ich hab mir Videos und andere Fragen auf dieser Plattform angesehen, doch ich versteh das nicht so recht.
Frage: Kann mir jemand bitte eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Anleitung dazu machen?
Mfg
8 Antworten
Schau dir mal einen Beweis (durch Widerspruch) für die Irrationalität der Wurzel aus 2 an.
Das lässt sich analog auf die Wurzel von 3 übertragen.
"Sei sqrt(3) rational, d.h. sqrt(3) = a/b für a,b in Z und ggT(a,b)=1 (sonst Bruch kürzbar)."
So in etwa solltest du anfangen.
Du musst das ganze indirekt angehen. Heißt : Das Gegenteil beweisen. Du gehst also davon aus, dass die dritte Wurzel von 2 rational ist. rational bedeutet, man kann sie als Bruch der Form m / n darstellen, wobei m und n natürliche Zahlen (m =/= 0) sind.
Du gehst davon aus, dass m / n vollständig gekürzt ist. Dann rechnest du das ganze so lange um, bis du merkst, dass m / n nicht vollständig gekürzt ist -> wiederspruch -> irrational.
Der bekannteste Trick ist dabei, einen Widerspruchsbeweis zu führen, indem du die Annahme sqrt(3) = a/b zu einem Widerspruch führst, und zwar mit minimal gewähltem b, d.h. b soll gerade die kleinste natürliche Zahl sein, sodass sqrt(3) = a/b für irgendein a gilt. Daraus folgt entsprechend 3 = a^2/b^2 bzw. 3b^2 = a^2. Versuche jetzt zu zeigen, dass du doch noch ein kleineres b findest. Das ist dann der Widerspruch zu deiner Annahme.
Hallo,
führe einen Widerspruchsbeweis:
Wurzel 3 ist rational, also ein Bruch zweier ganzer Zahlen p/q.
Geht das? oder führt diese Annahme zu einem Widerspruch?
Herzliche Grüße,
Willy
(2)^1/3 = m/n ->
2 = (m/n)^3 ->
2 = m^3 / n^3 ->
2 n^3 = m^3 ->
m^3 ist also durch 2 teilbar, somit gerade.
wenn man eine gerade zahl hoch 3 nimmt bleibt sie gerade. eine ungerade zahl hoch 3 ist ungerade - > m = gerade.
bedeutet man kann m als m = 2k schreiben.
2k^3 = 8 k^3
da 2 n^3 = m^3
gilt 2 n^3 = 8 k^3
somit ist n teilbar.
n und m sind somit teilbar.
Tausch die 2 mit ner 3 aus, und die hoch 1/3 mit ner hoch 1/2, sorry, hab mich bisschen verlesen xD Dachte dritte wurzel 2 xD
Ach mann dann gehst nicht sorry. Mein Fehler. xD
Ja ich sehs gerade. .-. Hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_3
Es ging um die (zweite) Wurzel aus 3, nicht um die dritte Wurzel aus 2