Woher weiß ich wie viele Nullstellen eine quadratische Funktionsgleichung hat (ohne sie auszurechnen in der Scheitelpunktform)?

Es gibt eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Da gibt es eine Diskriminante, das ist der Radikand der Wurzel. Du kannst die a-b-c-Formel oder, wenn a=1 ist, auch die pq-Formel benutzen.

Die Anzahl der Lösungen hängt von dem Vorzeichen der Diskriminanten ab:

Ist sie positiv, gibt es zwei Lösungen, ist sie 0, gibt es eine Lösung und, wenn sie negativ ist, keine reellen Lösungen oder es gibt komplexe Lösungen.

Die Scheitelpunkt form ist ja:

f(x) = a*(x-d)² + e

E ist ja der Wert de scheitelpunktes auf der y achse.

Ist der wert 0 gibt es eine nullstelle weil der scheitelpunk ja die x achse berühert.

Ist der wert > 0 gibt es keine nullstelle wenn a > 0 und 2 wenn a < 0

Ist der wert < 0 gibt es keine nullstelle wenn a < 0 und 2 wenn a > 0

Damit dürften alle fälle abgedekt sein.

Ist der y-Wert des Scheitelpunkts Null, dann liegt die Parabel auf der x-Achse, d. h. es gibt eine Nullstelle; sind Vorzeichen von Streckungsfaktor und y-Wert des Scheitelpunkts gleich, gibt es keine Nullstelle; sind die Vorzeichen verschieden gibt es derer zwei.

Streckfaktor a>0 und Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse: 2 Nullstellen
Streckfaktor a>0 und Scheitelpunkt auf der x-Achse: 1 (doppelte) Nullstelle
Streckfaktor a>0 und Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse: 0 Nullstellen

Streckfaktor a<0 kannst Du Dir nun selbst überlegen.

Schaust, ob sie nach oben/unten geöffnet und nach oben/unten verschoben ist. Demnach kannst du es dir dann erschließen.