Wieso ist ergibt minus mal minus plus?

Es gilt: 1 + (-1) = 0.

Multiplizieren wir die Gleichung mit (-1), folgt:
(1 + (-1)) * (-1) = 0 * (-1) = 0.

Nun können wir auf der linken Seite das Distributivgesetz anwenden:

1 * (-1) + (-1) * (-1) = 0.

Per definitionem ist 1 * (-1) = -1, denn Multiplikation mit 1 verändert eine Zahl nicht. Also:

-1 + (-1) * (-1) = 0.

Nun addieren wir auf beiden Seiten eine 1 und erhalten:

(-1) * (-1) = 1.

In einem Körper gibt es nach Def. zu jeder Zahl a das Negative der Zahl b, sodass a+b=0 mit der Notation b=-a

Nun wollen wir herleiten warum -(-x)=x gilt.
Nach der Existenz einer neg. Zahl folgt:
Es gibt ein b zu -x so dass -x+b=0. Man schließt b=x. Also ist das Negative von -x x.
Und -(-x)=x ist nichts anderes als -1*(-x)=x, was genau deine Frage war.

Das ist sehr schwer, positiv zu zeigen.
Man kann im Grunde nur sagen, dass es zu Widersprüchen führt, wenn man nicht so rechnet.

Für die Plausibilität vielleicht mal diese Folge von Rechenschritten:

(-6) *  2   =  -12
(-6) *  1   =    -6
(-6) *  0   =     0
(-6) * (-1) =   +6
(-6) * (-2) = +12

Du hast -3€ Schulden, dass sind 3€ normales Geld, da -Schulden keine Schulden mehr sind.
Rechnest du also -3€ Schulden x -3€ Schulden ist das Ergebnis positiv = 6€

Da

1 x -1 schon gleich -1 ist

kann

-1 x -1 nicht gleichzeitig -1 sein, sondern nur 1.