Warum ergibt Minus mal Minus gleich Plus in der Mathematik?
Es erscheint mit logisch, dass plus mal minus gleich minus ergibt. Auch plus mal plus ergibt plus und erscheint mir logisch. Aber warum minus mal minus gleich plus ergibt und nicht minus erscheint mir unlogisch.
Warum ist das so?
9 Antworten
Man kann es logisch herleiten:
Es gilt 0*x = 0 für alle x ∈ ℝ
Außerdem: -a = -1 * a
Somit können wir folgendes aussagen:
Seien a und b natürliche Zahlen.
(-a) * (-b) = -1 * a * (-b) = a * -(-b) = a * b
Im fett markierten Teil erfolgt zwar trotzdem eine Multiplikation zweier negativer Zahlen, aber das soll es ja nur veranschaulichen.
Besser kann man es imho so sehen:
Du weißt:
-4 + 4 = 0
Wenn wir die ganze Gleichung mit (-5) multiplizieren, erhalten wir:
(-4)(-5) + 4*(-5) = 0*(-5)
(-4)(-5) - 20 = 0
Addieren wir auf beiden Seiten 20:
(-4)(-5) - 20 + 20 = 0 + 20
(-4)(-5) = 20
So, da haben wir's. ^^
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
In deinem Rechenbeispiel sieht man sehr schön, warum die Beziehung so gilt. Wenn die algebraische Struktur distributiv ist, dann gilt auch das berühmte minus mal minus gleich plus.
Hallo ich bin kein Mathematiker oder Physiker aber das mit dem minus mal minus kommt auch in der Thermodynamik vor du hast ein Raum der wirt um die Hälfte komprimiert dabei Ewärmt sich die Luft in den verkleinerten Raum also hast du mehr x grad als in dem raum zuvor so stelle ich mir das vor oder du kannst das auch so vorstellen du hast was weniges das multiplizierst du mit ein anderem wenigen und hast dann mehr also plus
PS sorry für die Rechtschreibung
Kann man beweisen. http://observations.rene-grothmann.de/negativ-mal-negativ-gleich-positiv/
Vermutlich bist du aber noch nicht weit genug in Mathe
Naja was heißt weit genug: Ich habe Abitur Leistungskurs gehabt und in der Prüfung 10 Punkte erreicht, also Note 2 im Leistungskurs, gefordert waren dort Vektorrechnung, Matrizenrechnung, Kurvendiskussion und Integralrechnung. Natürlich konnte ich die Rechenregeln Minus mal Minus richtig anwenden, jedoch verstanden hatte ich das nicht so richtig.
Wenn die Regel "plus mal minus gleich minus" einleuchtet, schreiben wir sie mal ausführlich hin:
Satz 1:
a(-b) = -(ab) für beliebige ganze oder reelle Zahlen a und b.
Beweis:
a(-b) = 0 + a(-b)
= (-(ab) + ab) + a(-b) [weil -(ab) + ab = 0 ist]
= -(ab) + (ab + a(-b)) [weil man bei Addition beliebig klammern darf]
= -(ab) + a(b + (-b)) [weil ab + a(-b) = a(b+(-b)) ist]
= -(ab) + a*0 [weil b+(-b) = 0 ist]
= -(ab) + 0 [weil a*0 = 0 ist]
= -(ab).
Dann gilt aber auch
Satz 2:
(-a)b = -(ab) für beliebige ganze oder reelle Zahlen a und b.
Beweis:
(-a)b = b(-a) [weil man beim Muliplizieren die Faktoren vertauschen darf]
= -(ba) [wegen Satz 1 mit vertauschten a und b
= -(ab) [weil man beim Muliplizieren die Faktoren vertauschen darf]
Aus Satz 1 und Satz 2 folgt also, dass man das Minuszeichen eines Faktors vor das Produkt ziehen kann.
Ferner gilt
Satz 3:
-(-a) = a für beliebige ganze oder reelle Zahlen a.
Beweis:
-(-a) = -(-a) + 0
= -(-a) + (-a + a) [weil -a + a = 0 ist]
= (-(-a) + (-a)) + a [weil man bei Addition beliebig klammern darf]
= 0 + a [weil -(-a) + (-a) = 0 ist; es gilt immer -x+x=0]
Ein Minus vor einer Zahl kehrt also das Vorzeichen um: -(+7) = -7, -(-7) = +7
Aus den Sätzen 1, 2 und 3 folgt das gewünschte Resultat:
Satz 4: (-a)(-b) = ab für beliebige ganze oder reelle Zahlen a und b.
Beweis:
(-a)(-b) = -((-a)b) [wegen Satz 1 mit (-a) statt a]
= -(-(ab)) [wegen Satz 2]
= ab [wegen Satz 3 mit ab statt a]
Meine Mathelehrerin hat das immer so erklärt:
Stell dir vor, du stehst auf einer Zahlenlinie. Nach vorne siehst du alle positiven Zahlen (1,2,3,4,5,...) und hinter dir alle negativen Zahlen (-1,-2,-3,...). Du stehst also auf der null.
Nehmen wir an, du willst "plus mal plus" rechnen. Das erste "plus" steht für deine Blickrichtung. Das zweite "plus" steht für deine Gangrichtung. Bei "plus mal plus" guckst du also nach vorne und gehst auch nach vorne.
Wenn du jetzt "minus mal minus" rechnen willst, musst du dich umdrehen (wegen dem ersten "minus") und gehst dann rückwärts (wegen dem zweiten "minus") und kommst somit in den positiven Zahlenbereich.
Ich weiß, ist keine mathematische Erklärung, aber mir hat diese Vorstellung immer sehr geholfen. Falls jemand eine mathematisch korrekte Lösung hat, würde mich das auch mal interessieren.
Dein Denkfehler ist, dass du nicht "minus 5 mal minus 5 Bierkisten" rechnen darfst.
DOPPELTE VERNEINUNG
In deutsch würde deine Rechnung dann so heißen: "Ich habe nicht 5 mal keine 5 Bierkästen".
Wenn du sagen willst: "Ich habe nicht 5 mal 5 Bierkästen", dann musst du logischerweise "5 mal minus 5 Bierkästen" rechnen.
Wenn ich minus 5 Bierkisten habe, also fehlen mir die (weil minus) und wenn ich eine Palette mit minus 5 mal minus 5 Bierkisten (nicht habe, also fehlen) dann ergibt das für mich -5 mal -5 = -25 fehlende Bierkisten und nicht +25 Bierkisten