Wieso ergibt a⁰ immer 1?

Ich verstehe den mathematischen ,,Beweis", in dem man z. B. von 2³ bis 2⁰ rückwärts rechnet und wenn man durch die jeweilige Basis teilt, ergibt sich immer a⁰ = 1. Allerdings kann ich mir das nicht vorstellen, denn man man eine beliebige Zahl 0 mal mit sich selbst multipliziert, müsste doch wieder der Wert der Basis rauskommen, weil man ja keine Änderung vorgenommen hat? 2¹ ist ja auch 2 und nicht 1, weil nichts gemacht wurde, wieso ist das bei 0 als Exponent anders?

Answer 1

[mihisu]

Allerdings kann ich mir das nicht vorstellen, denn man man eine beliebige Zahl 0 mal mit sich selbst multipliziert, müsste doch wieder der Wert der Basis rauskommen, weil man ja keine Änderung vorgenommen hat?

Naja, aber wenn du die Zahl „0-mal mit sich selbst multiplizierst“ dann hast du ja keine Kopie der Basiszahl zur Verfügung. Warum sollte dann die Basiszahl rauskommen, wenn die Basiszahl doch in der Rechnung gar nicht (0-mal) vorkommt?

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Das „mit sich selbst multiplizieren“ finde ich übrigens gar nicht mal so gut ausgedrückt. Vor allem würde 2¹ demnach meist grob (und falsch) als „2 einmal mit sich selbst multipliziert“ beschrieben werden. Aber wenn man sich dann mal die Beschreibung „2 einmal mit sich selbst multipliziert“ genauer ansieht, würde diese Beschreibung dann doch eher zu „2 ⋅ 2 = 4“ passen, statt „2¹ = 2“ zu ergeben.

Auch deshalb verwende ich statt „Multiplikation n-mal mit sich selbst“ normalerweise auch eher die Beschreibung „Multiplikation von n Kopien der Basiszahl zur Zahl 1“...

Wenn man eine natürliche Zahl n hat, so bedeutet aⁿ...

„Beginne mit 1 als Startwert und multipliziere n-mal die Basiszahl a zum vorigen Zwischenergebnis.“

Dann ist es auch viel anschaulicher, warum a⁰ = 1 ist. Da man bei 1 beginnt und dann nichts weiter dazumultipliziert, sodass man bei 1 als Ergebnis bleibt.

Ich sehe das also so...

$a^0=1$

$a^1=1\cdot a$

$a^2=1\cdot a\cdot a$

$a^3=1\cdot a\cdot a\cdot a$

$a^4=1\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a$

... statt so...

$a^0=1$

$a^1=a$

$a^2=a\cdot a$

$a^3=a\cdot a\cdot a$

$a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a$

Bei meiner Sichtweise hat man dann immer n-mal gleichermaßen „⋅ a“ dastehen und führt n Multiplikationen durch. [Statt bei der anderen Sichtweise einmal erst „a“ und dann immer erst „⋅ a“ dastehen zu haben und in der Regel nur n-1 Multiplikationen durchzuführen. Und auch statt bei der anderen Sichtweise im Fall mit n = 0 komischerweise plötzlich eine 1 dastehen zu haben, die man sonst nicht hat.]

Answer 2

[ffranzi01]

x^0 ist aber was anderes wie x 0 mal mit sich selbst zu multiplizieren. Denk mal darüber nach.

Answer 3

[ChrisGE1267]

Das ist eine Definition, die mit den Rechenregeln für die Potenzgesetze konsistent ist. Allerdings gilt nicht: a^0 = 1 für a = 0, hier ist der Wert undefiniert…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Comments

[mihisu]

Allerdings gilt nicht: a^0 = 1 für a = 0, hier ist der Wert undefiniert…

Naja. Es gibt zwar nicht gerade wenige Mathematiker, die 0⁰ undefiniert lassen. Da hast du recht. Aber ich würde doch behaupten, dass ein überwiegender Teil der Mathematiker 0⁰ = 1 definiert.

Beispiel:

Die meisten Mathematiker, die ich kenne, schreiben ja beispielsweise bei der Exponentialreihe (und auch sonst bei Potenzreihen) meist einfach...

sum[n=0...∞](xⁿ/n!)

Dann hätte man aber Probleme an der Stelle x = 0 und müsste diese entweder extra definieren oder stattdessen beispielsweise

1 + sum[n=1...∞](xⁿ/n!)

schreiben.

Wenn man 0⁰ = 1 definiert, hat man eben nur das Problem, dass die durch f(a, x) = a^x gegebene Funktion f: ℝ² → ℝ an der Stelle (a, x) = (0, 0) zwar definiert ist, aber dort nicht stetig ist, da der Grenzwert an dieser Stelle nicht existiert. Einige Mathematiker lassen deshalb 0⁰ undefiniert, da hast du recht. [Ich habe die Funktion an dieser Stelle lieber definiert und unstetig, als dass ich sie dort undefiniert lasse. Insbesondere, weil die Definition 0⁰ = 1 in vielen Fällen recht praktisch ist und mit weniger Schreibaufwand zur Abdeckung von Spezialfällen verbunden ist. Aber da kann man ja durchaus unterschiedlicher Ansicht sein.]

Answer 4

[Aurel8317648]

Behauptung: a^0 = 1

Beweis:

Unter der Voraussetzung der Gültigkeit folgender Potenzregel:

a^m / a^n = a^(m-n)

gilt:

a^m / a^m = 1 = a^(m-m) = a^0

q.e.d.

Answer 5

[rumar]

Das hat ganz eng damit zu tun, was jeder beim Kürzen von Brüchen auch lernen muss: Wenn man etwa den Bruch

$\frac{7\cdot7\cdot7}{7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7}$

vollständig kürzt, muss man an die Stelle des (vollständig weggekürzten) Zählers eine Eins setzen:

$\frac{1}{7\cdot7}$ Mit anderen Worten: Es müsste sinnvollerweise gelten:

$7^{0\ }\ =\ 1$