Wie zeige ich, dass f: R²-> R, definiert durch f (x, y) = yg (x), genau dann in (0,0) differenzierbar ist, wenn g: R-> R in 0 stetig ist?

Interessante Aufgabe, wobei nicht ganz klar ist, welche Differenzierbarkeit gemeint ist, ich vermute totale Differenzierbarkeit. Beim Beispiel g(x) = I x I hätte ich schon Mühe, an Differenzierbarkeit zu glauben.

Wenn man die Definition nachprüft:

Es muss eine lineare Funktion ax + by geben, so dass für h=(h1,h2) aus R^2 der Limes für h gegen 0 von

I h2 g(h1) - 0 g(0) - a h1 - b h2 I / Wurzel( h1^2 + h2^2 )

gleich Null ist. Nehmen wir a=0 und b=g(0), dann ist das

I h2 ( g(h1)-g(0) ) I / Wurzel( h1^2 + h2^2 )

Der Term I h2 I / Wurzel( h1^2 + h2^2 ) ist beschränkt, da

Wurzel( h2^2 ) <= Wurzel( h1^2 + h2^2 ),

der Term g(h1)-g(0) geht n.V. gegen Null, also haben wir‘s doch.