Wie zeige ich, dass f: R²-> R, definiert durch f (x, y) = yg (x), genau dann in (0,0) differenzierbar ist, wenn g: R-> R in 0 stetig ist?
1 Antwort
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
Interessante Aufgabe, wobei nicht ganz klar ist, welche Differenzierbarkeit gemeint ist, ich vermute totale Differenzierbarkeit. Beim Beispiel g(x) = I x I hätte ich schon Mühe, an Differenzierbarkeit zu glauben.
Wenn man die Definition nachprüft:
Es muss eine lineare Funktion ax + by geben, so dass für h=(h1,h2) aus R^2 der Limes für h gegen 0 von
I h2 g(h1) - 0 g(0) - a h1 - b h2 I / Wurzel( h1^2 + h2^2 )
gleich Null ist. Nehmen wir a=0 und b=g(0), dann ist das
I h2 ( g(h1)-g(0) ) I / Wurzel( h1^2 + h2^2 )
Der Term I h2 I / Wurzel( h1^2 + h2^2 ) ist beschränkt, da
Wurzel( h2^2 ) <= Wurzel( h1^2 + h2^2 ),
der Term g(h1)-g(0) geht n.V. gegen Null, also haben wir‘s doch.