Wie zeige ich, dass die beiden Dreiecke den gleichen Flächinhalt haben und wie berechne ich den Anteil?
Nabend liebe Community, die genaue Aufgabe steht im Bild beschrieben, 8.Klasse Geometrie. Ich habe leider nicht so viele Ideen. Ich hatte überlegt es über die Ähnlichkeit zu zeigen, aber bin irgendwie nicht zum Ziel gekommen. Kann mir irgendjemand weiterhelfen?
In a) soll gezeigt werden, dass die Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben.
In a) soll gezeigt werden, dass die Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben
2 Antworten
Habe mich gegen Abend mal der Aufgabe gewidmet und alles mögliche hin und her gerechnet und eingezeichnet etc. pp. Das Problem wurde aber mit jedem Versuch, es zu lösen, nur noch komplizierter. Da wurde mir klar, man braucht einen Gedankenblitz, der aber nicht einschlagen wollte.
Jetzt gerade ist er mir gekommen....das hat mir keine Ruhe gelassen...und die Sache ist ganz einfach.
Beide Dreiecke haben eine Seite gemeinsam, die Strecke CP.
Die Fläche ist Seite mal halber Höhe. Jetzt muss also nur noch geklärt werden, ob beide Dreiecke betreffs dieser gemeinsamen Seite auch dieselbe Höhe haben.
Die Höhe von BCP ist das Lot von B auf die Diagonale AC. Die Höhe von PCD ist das Lot von D auf die Diagonale. Nun sind die Dreiecke ABC und ACD aber kongruent, denn das ist die Eigenschaft einer Diagonalen in einem Parallelogramm, dass sie dieses in zwei kongruente Dreiecke teilt. Wenn ABC und ACD kongruent sind, muss auch der Betrag des Lots B auf die Diagonale = dem Lot von D auf die Diagonale sein.
Damit haben beide Dreiecke BCP und PCD nicht nur eine Seite gemeinsam, sondern auch die Höhe bezüglich dieser Seite. Mit gleicher Seite und gleicher Höhe ist gemäß A = 1/2 PC * h auch die Fläche gleich.
Kommentar: Wo der Punkt P auf der Diagonale liegt und wo der Punkt E auf der Seite liegt, spielt bei dieser Betrachtung absolut keine Rolle. Genauere Angaben dazu dienen nur der Verwirrung, weil man dann womöglich glaubt, Informationen zur Lösung des Problems daraus ziehen zu können.
Hast du auch noch eine Idee für b)
Die Frage habe ich schon befürchtet.
Zumindest hätte ich eine halbe Idee.
h sei die Höhe sowohl eines der beiden kongruenten Dreiecke, die durch die Diagonale AC gebildet werden als auch die Höhe h des Dreiecks ABP.
Dann gilt:
Fläche ABC = 1/2 * AC * h
Fläche Parallelogramm = 2 * Fläche ABC = AC * h
Fläche ABP = 1/2 * AP * h
Fläche ABP/Fläche Parallelogramm = 1/2 * AP * h / AC * h = 1/2 * AP/AC
Nun ist es aber so, dass AP/AC von der Form des Parallelogrammes bzw. seinen Winkeln undSeitenlängen abhängt, vermute ich mal stark. Jedenfalls sehe ich bislang keine Möglichkeit, das Verhältnis AP/AC exakt zu bestimmen.
Ist sonst noch irgendwas gegeben?
dann musst du mit fiktiven Werten arbeiten. geht ja nur darum zu zeigen dat derselbe Fläche.
E ist der Mittelpunkt der Strecke CD und P der Schnittpunkt der Diagonalen AC und BE
ja dat hab ich gerade auch überlegt. dann würde AC zu BE 90Grad Winkel sein.
Vielen Dank für diese tolle Antwort! Ich war richtig am verzweifeln, aber so ist das offensichtlich. Hast du auch noch eine Idee für b)?