Gegeben ist die Funktion f(x)=(x^2+2x)*e^x?
Zeige das f(x)=x^2*e^x eine stammfunktion davon ist.
Berechne den Flächeninhalt der vom Graphen von f unterhalb der x Achsen eingeschlossen wird.
4 Antworten
Entweder integrierst du die Funktion f(x) und siehst, dass die der gegebenen Stammfunktion F(x) entspricht.
Oder du differenzierst die Stammfunktion F(x) und siehst, dass sie der Funktion f(x) entspricht.
Zeige das F(großesF)(x)=x^2*e^x eine stammfunktion davon ist.
F(x) ableiten , f(x) sollte rauskommen.
.
Nullstellen von f(x) bestimmen ( 0 ist eine , -2 die andere) und von -2 bis 0 integrieren.
Die Stammfunktion von f(x)=(x^2+2x)*e^x ist F(x) = (x^2-2x+2)*e^x + C.
Um den Flächeninhalt der vom Graphen von f unterhalb der x-Achse eingeschlossenen Fläche zu berechnen, müssen wir die Nullstellen der Funktion finden. Die Funktion hat zwei Nullstellen bei x=-2 und x=0. Wir können nun das Integral von f(x) von -2 bis 0 berechnen, um den Flächeninhalt zu erhalten.
Das Integral von f(x) von -2 bis 0 ist gleich dem Betrag des Integrals von f(x) von 0 bis -2, da die Fläche unterhalb der x-Achse negativ ist. Das Integral lautet:
∫(0,-2) (x^2+2x)*e^xdx = ∫(0,-2) x^2*e^xdx + ∫(0,-2) 2x*e^xdx
= [(-4*e^-2)-(4*e^0)] + [(4*e^-2)-(0*e^0)]
= -4*e^-2 + 4*e^-2
= 4*(e^-2)
Also ist der Flächeninhalt der vom Graphen von f unterhalb der x-Achse eingeschlossenen Fläche gleich 4*(e^-2).
Tipp: nicht beide Funktionen gleich nennen.
Üblich ist f(x) = Funktion, F(x) = Stammfunktion.