Wie viele Vektoren?

Wie viele Vektoren können gleichzeitig zu den beiden Ortsvektoren A(2/-3/-6) und B(10/-4/-2) orthogonal sein

Answer 1

[DieChemikerin]

Hi,

prinzipiell unendlich viele.

Orthogonalität gilt, wenn das Skalarprodukt Null ist. Und ein Vektor, der orthogonal zu einem anderen steht, kann erstens verschoben werden und zweitens beliebig durch einen Faktor gestaucht oder gestreckt werden, er bleibt trotzdem orthogonal zum anderen Vektor.

Beispielsweise ist der Vektor mit x= -3, y = -2 und z = 0 orthogonal zum Ortsvektor des Punktes A(2|-3|-6). Ich könnte den Vektor aber auch mit 0,5 multiplizieren (also stauchen) und hätte dann x= -1,5, y = -1 und z = 0. Der Vektor wäre trotzdem orthogonal, da das Skalarprodukt weiterhin Null ist. Auch wenn du den Vektor mit 2 multiplizieren würdest und x= -6, y = -4 und z = 0 hättest, käme trotzdem Null raus.

Und so gibt es eben unendlich viele Zahlen, mit denen du den Vektor multiplizieren kann, der sich so aber nur in der Länge verändert, nicht aber in der Orientierung, und damit orthogonal zum anderen Vektor bleibt.

Hier noch eine Visualisierung zur Veranschaulichung:

LG

Woher ich das weiß: Hobby – seit der Schulzeit, ehemals Mathe LK

Comments

[Hilfedigger]

du bist ein genie

[DieChemikerin]

@Hilfedigger

Danke für das Lob 😅 ich hab in die Antwort noch ein Foto zur Visualisierung eingefügt :)

Answer 2

[DerRoll]

Genau zwei normierte, ansonsten unendlich viele, die alle von einem der beiden normierten linear abhängig sind.

Comments

[Hilfedigger]

versteh ich nicht

[DerRoll]

@Hilfedigger

Schau dir mal im R^2, also in der Ebene einen Vektor an. Wieviele Vektoren der Länge 1 können zu diesem orthogonal sein?

[Hilfedigger]

@DerRoll

ich verstehe es glaub ich besser bildlich weil wenn du was schreibst hab ich nicht mal eine vorstellung vor augen :(

[DerRoll]

@Hilfedigger

wenn du was schreibst hab ich nicht mal eine vorstellung vor augen :(

Deshalb habe ich gesagt du sollst dir das in der Ebene veranschaulichen, da kannst du selbst zeichnen.

Hier

https://studyflix.de/mathematik/orthogonal-vektor-6959

gibt es ganz viele Bilder.

[jeanyfan]

@Hilfedigger

Im Grunde heißt es, dass ein Vektor der Länge 1 in die eine Richtung und der Gegenvektor dazu in die entgegengesetzte Richtung zeigt, die senkrecht zu der Ebene stehen, die von A und B aufgespannt wird. Alle anderen Vektoren sind eben Vielfache von diesen mit einer anderen Länge, zeigen aber in dieselbe Richtung.