Wie viel Prozent beträgt die jährliche Abnahme?
Hey ich sitze schon die ganze Zeit an dieser Aufgabe fest... Vielleicht kann mir ja jemand helfen. : Cäsium 137 hat eine Halbwertszeit von 33 Jahren. Gib den Wachstumsfaktor (für 1 Jahr) an. Wie viel Prozent beträgt die jährliche Abnahme?
4 Antworten
Nach 33 Jahren ist die Hälfte des Stoffes zerfallen.
Es gilt die allgemeine Formel für Wachstums- und Zerfallsprozesse:
f(t)=G*q^t
(f(t) ist Bestand zum Zeitpunkt t, G ist der Grundbestand, q ist der Wachstumsfaktor, t sind die Jahre)
Wir wissen: Nach 33 Jahren ist die Hälfte des Grundbestandes zerfallen.
Es gilt: f(33)=1/2G, also
1/2G=G*q^33 | /G
1/2=q^33 | 33. Wurzel ziehen
33. Wurzel(1/2)=q
q=0.979214597
Es zerfallen pro Jahr (1-0.979214597)=0.020785403=2.0785403 Prozent des vorhandenen Stoffes.
Dies ist eine Standardaufgabe,wie sie immer wieder vorkommt.
Bei einer konstanten prozentualen Abnahme oder Zuhnahme ergibt sich eine geometrische Folge der Form ai= a0 * a^n
a= a2/a1 und ist konstant
Beispiel a1= 100 und z= 2 % Abnahme pro jahr ergibt
a2= a1 - a1/100 % * 2 %= 100 - 2= 98
daraus ergibt sich a=a2/a1 = 98/100 = 0,98 Die Formel wäre hier also
ai= ao * 0,98^n
Deine Aufgabe ist genau so. Man muss hier nur a ausrechnen und dann daraus die Prozentzahl
a(33)= ao * a^33 mit a(33)= 1/2 * ao nach 33 Jahre ist die Hälfte des Materials zerfallen
ergibt 1/2 * ao=ao * a^33 also 0,5 = a^33 a= 33 .te Wurzel (0,5)=0,9792
Probe a(33)= 100 * 0,9792^33=100 *0,5 =50 stimmt also
Aus a=a2/a1 kann man nun den Prozentsatz berechnen.
a=a2/a1= a1 - a1/100% *z) /a1=1 - 1/100%*z ergibt
z= (1-a)*100%=2,08%
Ganz einfache Dreisatz Rechnung :)
Du hast 100% Cäsium 137 im Jahre 0
50 % Hast du im Jahre 33
Beides Geteilt durch 33
??? % Hast du im Jahre 1
q = 0,5^(1/33) = 0,979
p=(1-q) • 100 = 2,1%
Dieser Kommentar hat mich wirklich gerettet. Stundenlang habe ich an dieser Formel, welche nun im Nachhinein als das Selbstverständlichste der Welt erscheint, herumgebastelt und gerechnet. Nun habe ich alle wesentlichen Inhalte zum exponentiellen Wachstum verstanden! Vielen, vielen Dank!