Wie sind seine Abmessungen zu wählen, damit sein Volumen möglichst groß wird?
Einer Halbkugel mit dem Radius R soll ein auf der Spitze stehender Drehkegel eingeschrieben werden. Wie sind seine Abmessungen zu wählen, damit sein Volumen möglichst groß wird
?
Ich versuche es die ganze zeit zu lösen aber es geht nicht ,ich versteh es nicht wie ich das machen soll. Kann mir das wär bitte schrittweise erklären?
5 Antworten
Soll die Figur so aussehen?
Zielfunktion
V = 1/3 pi r² h
Nebenbedingung
R² = r² + h²
nach r² auflösen
V(h) = 1/3 pi (R²h-h^3) hab ich da, aber der konstante Faktor ist unerheblich.
Ableitung = 0 setzen, wie üblich noch nachweisen, dass die Lösung tatsächlich ein Maximum ist. Auch noch r angeben.
Hi Sandraa16,
Du kannst die Aufgabe erheblich vereinfachen indem Du die Flächen (so wie in Deiner Zeichnung) anstelle der Volumen behandelst (denn diese sind über R proportional dazu).
Sind die Flächen maximal, dann sind es auch die Volumen. Es reicht eine Dreieckshälfte zu behendeln.
mit F=1/2 * r * h und r^2=R^2 - h^2 -> r = Wurzel[R^2 - h^2]
F=1/2 * Wurzel[R^2 - h^2] * h = 1/2 * Wurzel[R^2 * h^2 - h^4]
zur Ermittelung des Maximums reicht es den Ausdruck unter der Wurzel zu betrachten (monoton steigend).
f(h) = R^2 * h^2 - h^4
Das Maximum ist eine Nullstelle der ersten Ableitung.
f'(h) = R^2 * 2h - 4h^3 = 0
R^2 = 2h^2
-> h = R/Wurzel[2] und r=h
MFG automathias
Also ich erkläre das mal wie ich die aufgabe verstehe. Wichtig: Bei einem kreis ist R (radius) immer = D (Durchmesser)
Schritt 1
Du schaust nach wie groß der Durchmesser von dem Boden des Kegels ist
Schritt 2
Du teilst diese Zahl durch 2
Schritt 3
Die Geteilte Zahl Nimmst du nun als Radius für die HalbKugel
Du hast einen Halbkreis mit einem Dreieck,
das möglichst groß werden soll. Wenn es das
ist, ist es auch der einbeschriebene Kegel.
Das Dreieck hat die Fläche
A(h) = h * sqrt(R² - h²)
Die Ableitung ist
−(2h²−R²)/sqrt(R² - h²)
(2h²−R²) = 0
h = sqrt (R²/2)
Ich habe das schon gemacht aber ich weiss nicht mehr wie es dann weiter geht also :
Ich habe es dann in volumen eingesetzt und habe die zielfunktion vereinfachert hab dann v= R2h-h3 bekommen und habe dann die ableitung gemacht v‘(h) = R2-3h2 und genau hier weiss ich nicht mehr wie es weiter geht