Wie sieht der Definitionsbereich von tan(x) aus?
Ich bin gerade dabei für meine Klausur zu lernen und komme einfach nicht darauf. Es geht um den Definitionsbereich von tan(x), also die Werte die man für x einsetzen kann. Im Internet finde ich leider auch keine hilfreiche Lösung. Kann mir jemand weiterhelfen?
5 Antworten
Der Definitionsbereich des Tangens ist D = ℝ \ {kπ/2 | k ∈ ℤ}.
Die Definitionslücken sind somit ganzzahlig Vielfache von π/2 bzw. Vielfache von 90°.
Du kannst dir das am rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis vorstellen. Wenn du mit dem Winkel α gegen 90° gehst, geht die Gegenkathete immer mehr gegen 1 und die Ankathete immer mehr gegen 0.
Der Tangens von 90° wäre also 1/0 - eine Division durch Null ist undefiniert also ist das auch beim Tangens von 90° und den Vielfachen davon der Fall.
EDIT: Klar, mit den Nullstellen des Kosinus geht das natürlich viel einfacher, ich habe versucht, es anschaulich zu halten.
LG Willibergi
Korrektur: Die Definitionslücken liegen nur bei den betragsmäßig ungeraden ganzzahligen Vielfachen von π/2, die Definitonsmenge ist somit:
D = ℝ \ {kπ/2 | k = 2n + 1 mit n ∈ ℤ}
Ein bisschen komplizierter, aber eigentlich auch kein Drama.
2n + 1 ist die Form einer ungeraden Zahl, egal welche natürliche Zahl du für n einsetzt, es kommt immer eine ungerade Zahl heraus.
n = 0 → 2n + 1 = 1
n = 1 → 2n + 1 = 3
n = 2 → 2n + 1 = 5
n = 3 → 2n + 1 = 7
...
Da wir hier auch negative Zahlen betrachten, ist n statt natürlich sogar ganz.
Und daraus ergibt sich dann eine ungerade Zahl k, die mit kπ/2 eine Definitionslücke ergibt.
LG Willibergi
tan(x) = sin(x)/cos(x)
Also überall, außer da wo cos(x) Nullstellen hat,
also +/-1/2pi, +/-3/2pi, +/-5/2pi...
tan=sin/cos
cos ist Null bei: ... -5/2 pi; -3/2 pi; -1/2 pi; 1/2 pi; 3/2 pi; 5/2 pi; ...
Das sind dann die Definitionslücken.
Ich verstehe das leider immer noch nicht richtig. Was bedeuten denn K "E" Z in der Definitionsmenge?
k ∈ ℤ bedeutet, dass k Element der ganzen Zahlen ℤ ist. Ich habe oben nochmal die Schreibweise der Definitionsmenge erklärt.
Was ist daran nicht hilfreich?