Wie prüft man richtig auf Konsistenz? (Statistik, Schätzer auf Konsitenz prüfen)?
Lösung:
Ich dachte immer, ich lasse n gegen unendlich laufen und schaue dann den Erwartungswert der Schätzer an, die Lösung sagt beides seien konsitente Schätzer!
Ich verstehe nur nicht wie man das prüft, bei V_n, dachte ich schaue E(V_n) an, was ja :
bei W_n ist es doch , wenn ich n gegen unendlich laufen lasse, so habe ich doch als Faktor bei 1/(n+1) eigentlich 1/(unendlich+1) und das ist doch 0 und 0 mal die Summe sollte ja 0 sein?
Stattdessen ist es jedoch so, warum auch immer, dass wir dort das doch als konsitenten Schätzer rausbekommen, aber warum Varianz? Sollte man nicht n gegen unendlich laufen lassen und den Erwartungswert prüfen?
Volle AUfgabe:
Also B sagt V_n und W_n seien konsitente Schätzer
Unsere Slides dazu
d
1 Antwort
Ich verstehe nur nicht wie man das prüft, bei V_n, dachte ich schaue E(V_n) an, was ja :
Damit bestimmst du die Erwartungstreue, nicht die Konsistenz.
Und aus der Vorlesung solltest du wissen, dass der Mittelwert ein konsistenter Schätzer für den Erwartungswert, und dass die Stichprobenvarianz ein Erwartungstreue Schätzer für die Varianz ist.
Somit geht bei V_n X_n in Wahrscheinlichkeit gegen π, weswegen nach Slutzky V_n in Wahrscheinlichkeit gegen π(1-π) geht.
(Slutzky ist anwendbar, da hier alles in Wahrscheinlichkeit gegen konstanten konvergiert)
Bei W_n ist die Argumentation analog.
Aber was tue ich dann bei n gegen unendlich überhaupt anschauen?
Die Konvergenzsätze, die in deinen Folien zu sehen sind
Slutzky haben wir nicht kennengelernt, habe dir angehangt was wir alles dazu kennengelernt haben, mehr wurde bei uns nicht besprochen.
Das was in der zweiten Folie ist, reicht dafür aus. Das ist ein Sonderfall von Slutzky.
Beispielsweise bei V_n da habe ich einfach gesagt ich nehme den Erwartugnswert und der war dann passend, ist das Zufall?
Wie gesagt, nein. Ich habe doch in meiner Antwort gesagt, wie es funktioniert.
Ich verstehe das auch rigendwie nicht also (1/(n-1) wäre ja nach unseren Regeln 0? Daher W_n=0?
n/(n-1) geht gegen 1.
n/(n-1) geht gegen 1, aber wir haben doch stehen 1/(n+1) in der Aufgabe und wenn n gegen unendlich geht ist das doch 1/(unendlich+1)=1/unendlich?
Außerdem ich verstehe ncith ganz das konzept, wie bekommen wir da überhaupt Werte raus? \overline(X)_n ist ja die Variable für das arithmetische Mittel, ob jetzt n=1000 ist oder n=unendlich,w ie machen wir das dann zu einem konrekten Wert? Ich dachte zuvor immer, ich schaue den Erwartungswert an und nehme den dann, wenn man bei Konsistenzprüfung aber nicht den Erwartungswert anschaut, dann bleibt doch \overline(X)_n stehen? Wie wird der zum konkreten Wert?
n/(n-1) geht gegen 1, aber wir haben doch stehen 1/(n+1) in der Aufgabe und wenn n gegen unendlich geht ist das doch 1/(unendlich+1)=1/unendlich?
In der Lösung siehst du doch wie es umgeformt wurde. Die Summe die in W_n geht in Wahrscheinlichkeit gegen unendlich, weswegen das wissen, dass 1/(n+1) gegen 0 geht nicht ausreicht um den Grenzwert zu kennen.
Außerdem ich verstehe ncith ganz das konzept, wie bekommen wir da überhaupt Werte raus? \overline(X)_n ist ja die Variable für das arithmetische Mittel, ob jetzt n=1000 ist oder n=unendlich,w ie machen wir das dann zu einem konrekten Wert?
Gar nicht. Du nutzt die Konvergenzsätze aus den Folien. Du bestimmst hier gerade Stochastische Grenzwerte, das bedeutet, dass du das Verhalten von Zufälligen Objekten betrachtest.
Ich dachte zuvor immer, ich schaue den Erwartungswert an und nehme den dann
Nein das machst du nur, wenn du Erwartungstreue prüfst.
Für die Konsistenz nutzt du die Grenzwerte in Wahrscheinlichkeiten von dir bekannten Termen (zum Beispiel weißt du, dass der empirische Mittelwert in Wahrscheinlichkeit gegen den Erwartungswert geht) und wendest dann die Konvergenzsätze aus Folie 2 an.
Ah, also bei n gegen unendlich, darf ich das arithmetische Mittel, mit dem Erwartungswert tauschen und danach wende ich die Sachen von der Folie 2 an?
Wenn ja, ich verstehe die Umformung nicht, woher kommt dieses (n-1)/(n+1)S^2_n, wie haben die das gemacht? ALso W_n dazu, allein S^2_n
S^2_n= 1/(n-1)* ( SummeVon-i-bis-n((x_i)^2) - n*(\overline(X)_n)^2) und nicht das was in W_n steht?
Ich habe dir nochmal andere Formeln angehangen, ich glaube daraus wird klar, dass das arithmetischeMittel bei n gegen unendlich E(X_i) ist oder? Aber ist da noch was sinnvolles anderes für das W_n?
Ah, also bei n gegen unendlich, darf ich das arithmetische Mittel, mit dem Erwartungswert tauschen
Nein. Das habe ich nie behauptet. Du benutzt hier dass der empirische Mittelwert ein konsistenter schätzer für den Erwartungswert ist (du tauscht NICHTS), was in Folie 1 steht, und dann wendest du die Sätze aus Folie 2 an.
Wenn ja, ich verstehe die Umformung nicht, woher kommt dieses (n-1)/(n+1)S^2_n, wie haben die das gemacht? ALso W_n dazu, allein S^2_n
Ganz einfach: S_n = 1/(n-1) * Summe
Jedoch ist W_n = 1/(n+1)*Summe
Somit ist W_n ° (n-1)/(n+1) * S_n
Aber überall ist das 1/(n-1) bei unserem beispiel steht 1/(n+1)?
Sorry meinte da steht n/(n-1) und das ist klar 1 bei n gegen unendlich, aber bei unserem Beispiel von W_n steht 1/(n+1)
Du Formst W_n zu (n-1)/(n+1) S_n um
(n-1)/(n+1) geht gegen 1, S_n ist ein konsistenter Schätzer für die Varianz.
Somit geht S_n in Wahrscheinlichkeit gegen die Varianz. Wenn du den ersten Punkt der Folie 2 anwendest, erhälst du somit dass W_n in Wahrscheinlichkeit gegen die Varianz konvergiert.
Ja, ich weiß, dass ich mit Erwartungswert anschauen Erwartungstreue bestimme.
Aber was tue ich dann bei n gegen unendlich überhaupt anschauen?
Slutzky haben wir nicht kennengelernt, habe dir angehangt was wir alles dazu kennengelernt haben, mehr wurde bei uns nicht besprochen.
Beispielsweise bei V_n da habe ich einfach gesagt ich nehme den Erwartugnswert und der war dann passend, ist das Zufall? Wenn ich nicht Erwartungswert betrachte, wie rechnet man solche Sachen, mit dem was wir kennengelernt haben? Das wirkt nicht so als wäre da was hierfür anwendbar irgendwie?
Ich verstehe das auch rigendwie nicht also (1/(n-1) wäre ja nach unseren Regeln 0? Daher W_n=0?
Btw. das Beispiel bei 5.5, der Prof meinte so schwer wird es nie, dass ist nur Einführung, aber so brauchen wir es nie