Wann muss man beim Limes ausklammern und wann nicht?
Beim Limes lässt man ja immer eine Funktion gegen eine Zahl oder unendlich laufen
hab dann letztens ne Aufgabe gemacht wo man gegen 0 und gegen +unendlich laufen lassen sollte
so weit ich’s beim Limes verstanden habe (und den Limes hab ich ned ganz so gut verstanden) muss man beim Limes ja erst mal die größte Potenz ausklammern ..
in den Lösungen zur Aufgabe stand aber, dass man bei x -> 0 nicht ausklammern muss, aber bei x -> unendlich schon
somit zu meinen Fragen..
- was genau bedeutet das eigentlich wenn ich x gegen etwas laufen lasse?.. steht das gegen das die funktion läuft dann für die y Koordinate oder wie Stell ich mir das vor?
- wann muss ich nun was ausklammern bzw. wieso muss ich bei x gegen null nicht ausklammern aber bei gegen unendlich eben schon?
1 Antwort
Bei der Grenzwertberechnung (limes) prüft man, wohin die Funktionswerte bei "meist kritischen" x-Werten laufen, da man diese nicht einfach so einsetzen kann (so ist z. B. "unendlich" keine Zahl und bei konkreten x-Werten würde z. B. der Nenner Null werden).
Setzt man nun z. B. bei gebrochen-rationalen Funktion bei x->unendlich einfach mal sehr große Zahlen für x in Zähler und Nenner ein, so laufen beide für sich gegen plus- oder minus-unendlich. Klammert man nun jeweils die höchste x-Potenz aus, dann kann man diese wegkürzen und entweder Zähler oder Nenner (oder beide) laufen gegen einen konkreten Wert, wenn x sehr groß wird. So kann man dann auch den Grenzwert "vernünftig" bestimmen.
Soll nun x gegen einen konkreten Wert laufen (meist ist es eine Definitionslücke), z. B. gegen Null, dann wirst Du diesen Wert in der Regel im Zähler einfach einsetzen können. Der Nenner wird immer kleiner werden, und das bedeutet für den gesamten Bruch, dass dieser immer größer wird; dann muss "nur" noch überlegt werden, welches Vorzeichen dieser Bruch dann haben wird, also ob die Funktionswerte letztendlich gegen plus- oder minus-unendlich laufen werden.
Läßt Du z. B. in Deinem Beispiel x gegen Null laufen, dann kommt im Zähler (0+2)²=+4 raus, der Nenner wird immer kleiner, bleibt aber, egal ob von links oder rechts gegen Null, immer positiv, wegen x². Somit sind links- und rechtsseitiger Grenzwert für x->0 plus-unendlich. Für x->unendlich klammerst Du dann das x aus und kürzt es. Somit ist der Nenner konstant 1 und der Zähler läuft für sehr große x gegen 1, da Brüche mit x im Nenner gegen Null laufen, also quasi wegfallen), d. h. lim x->0 ist in diesem Fall 1.
"von links und rechts" bedeutet das, was er wortwörtlich heißt! :)
Nimm z. B. die Funktion f(x)=1/x. Hier ist bei x=0 eine Definitionslücke. An x=0 nähert sich der Graph einmal aus dem negativen x-Bereich an (also von links kommend) und einmal aus dem positiven x-Bereich (also von rechts). Egal von welcher Seite der Nenner immer kleiner wird, der Bruch wird immer größer, läuft also gegen Unendlich. Von links kommend ist aber der Nenner negativ, also ist der Grenzwert Minus-Unendlich. Von rechts kommend ist der Nenner positiv, also läuft 1/x von rechts Richtung Null nach plus-Unendlich. Die Untersuchung von "links" und "rechts" ist also u. a. wichtig für das Vorzeichen an solchen Stellen, wo man von beiden Seiten rankommt.
Die Zeile mit "dass der Zähler bei +unendlich ..." habe ich leider nicht verstanden. Das habe ich auch nicht geschrieben.
zu Deinem letzten Absatz mache ich das mal für x->unendlich für Deine Beispielfunktion vor:
x in Zähler ausklammern (Du köntest auch die quadr. Klammer ausrechnen, ist aber nicht nötig):
lim (x(1+2/x)/x)² I das ausgeklammerte x mit dem x im Nenner kürzen
=lim (1+2/x)²
Läuft nun x->unendlich, so läuft der Bruch 2/x gegen Null und es bleibt lim (1+0)²=1²=1 übrig.
Hättest Du zuerst die quadr. Klammer ausgerechnet, dann hättest Du x² ausklammern müssen:
lim (x²+4x+4)/x² = lim x²(1+4/x+4/x²)/x² = lim 1+4/x+4/x²
Hier werden die Brüche 4/x und 4/x² für große x Null, also bleibt Grenzwert 1 übrig.
ich versteh es immernoch nicht ganz ..
was ist mit „von links und rechts“ gemeint? Wie rechnet man das normalerweise aus?
dass der Zähler bei +unendlich gegen 0 geht sehe ich ein, aber wieso wird der Nenner denn 1?
wenn ich den Nenner ausklammern sollte doch dann im Nenner statt x^2 dann nur x stehen.. und wenn ich dort +unendlich einsetze kommt doch nicht 0 raus ...