Wie berechnet man den Grenzwert einer Funktion gegen unendlich / minus unendlich?
Hallo, ich sitze gerade an einer Mathe Aufgabe, schreibe morgen eine Arbeit... Und die wollte ich zur Übung machen aber ich weiß irgendwie GAR nicht mehr wie man den Grenzwert berechnet... :( Mit so einer Tabelle bekomme ich es hin, aber nicht mit Termumformung... Bitte Antwortet, ich wäre euch SEHR SEHR dankbar!!!! :-)
Viele Grüße,
Sonnenblume
HIER DIE FUNKTION, VON DER DER GRENZWERT BESTIMMT WERDEN SOLL:
f(x)= x^2-x/3x^2
Also f von x = x-quadrat minus x, geteilt durch 3x-quadrat
3 Antworten
hmm zieh doch mal den bruch auseinander in zweibrüche:
x^2/3x^2 - x/3x^2 (ja das darf man... frag mich nicht wie das gesetz heißt).... dann kannste kürzen und es kommt raus: 1/3 - 1/3x ...
so jetzt kannste den grenzwert bilden... wenn x im nenner eines bruches steht (und nicht nochmal im zähler), wie hier der fall, so geht der bruch gegen unendlich und auch gegen minus unendlich gegen 0... also lim -> - unendlich = 0 und + unendlich ebenfalls!
x²-x beides auf dem Bruchstrich? dann x(x-1)/3x² = (x-1)/3x = 1/3 - 1/3x → 1/3
weil 1/(3x) wird 0
Ergebnis wie angegeben, aber etwas ausführlicher und allgemeiner anwendbar.: Kürzen (siehe mgausmann) ist immer möglich, aber auf zwei Brüche schreiben nicht, ausklammern (siehe Ellejolka) auch nicht.
Es reicht aus, so umzuformen, dass alle Summanden bis auf (höchstens) einen im Zähler und einen im Nenner gegen 0 gehen.
lim (x² -x) / 3x² =
x² ist im Nenner die Potenz mit dem größten Exponenten Diese kürze ich in Zähler und Nenner des Funktionsterms (entsprechend funktioniert das bei allen gebrochen rationalen Funkionen):
Für x → ± ∞ gilt:
lim ( (x² -x) / x²) / ( (3x²) / x²) ) =
Zähler ausmultiplizieren, Kürzung durchführen ergibt:
lim (1 - 1/x) / 3 =
1/3,
denn -1/x → 0 für x → ± ∞.