Wie muss ich den Brennpunkt einer Parabel bestimmen?
Also 1. Schritt den Scheitelpunkt bestimmen oder ?? Das heißt also das ich von einer gegebenen Aufgabe die Nullstellen berechne mit der Pq Formel oder ? Weiter weiß ich nämlich nicht und ich bin gerade am lernen für eine Klausur. Kann mir jmd helfen ?
Aufgabe : f(x)=1/5x^2 - 2x+3
4 Antworten
Den Scheitelpunkt zu bestimmen ist ein sinvoller erster Schritt. Dafür brauchst du aber nicht unbedingt die Nullstellen.
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Allgemein:
Betrachte eine Parabel, welche durch die Funktionsgleichung
f(x) = a x² + b x + c
gegeben sei.
Die Brennweite erhält man mit 1/(4a) aus dem Parameter a. Addiert man also 1/(4a) zur y-Koordinate des Scheitelpunkts, erhält man den Brennpunkt.
Zur Berechnung des Scheitelpunktes führt man (in der Schule) meist oft eine quadratische Ergänzung durch. Es gibt aber auch andere Methoden, beispielsweise über Ableitung der Funktion, oder indem man den arithmetischen Mittelwert der Nullstellen betrachtet.
Man kann sich aber auch einfach die Formel merken, dass man bei einer quadratischen Funktion in der Form f(x) = a x² + b x +c den Scheitelpunkt als
(-b/(2a) | c - b²/(4a))
erhält.
Demnach liegt der Brennpunkt bei
(-b/(2a) | c - b²/(4a) + 1/(4a)),
also bei
(-b/(2a) | c + (1 - b²)/(4a))
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Beim konkreten Beispiel:
f(x) = 1/5 x² - 2 x + 3
Einsetzen von a = 1/5 und b = -2 und c = 3 liefert
(-(-2)/(2 * 1/5) | 3 + (1 - (-2)²)/(4 * 1/5)),
also
(5 | -3/4),
als Brennpunkt.
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Ansonsten kann man auch Schrittweise vorgehen:
1. Scheitelpunkt berechnen (beispielsweise mit quadratischer Ergänzung):
f(x) = 1/5 x² - 2 x + 3
f(x) = 1/5 (x² - 10 x) + 3
f(x) = 1/5 (x² - 10 x + 5² - 5²) + 3
f(x) = 1/5 ((x - 5)² - 25) + 3
f(x) = 1/5 (x - 5)² - 5 + 3
f(x) = 1/5 (x - 5)² - 2
Daher liegt der Scheitelpunkt bei (5 | -2).
2. Berechnen der Brennweite:
1/(4 * 1/5) = 5/4
3. Verschieben des Scheitelpunktes um die Brennweite in y-Richtung:
(5 | -2 + 5/4) = (5 | -3/4)
1. Schritt Scheitelpunkt ist richtig.
f(x) = 1/5 x² - 2x + 3
Das kannst du mittels quad. Ergänzung machen. Da ich die nicht gut kann, mache ich das mittels Ableitung:
f' = 2/5 x - 2 = 0
->
x = 5
Scheitelpunkt liegt also bei f(x=5) = -2
S(5 | -2)
Nun der Brennpunkt:
B( Sx | p)
Edit: oder S( Sx | Sy +p) da bin ich mir jetz auch nicht ganz so sicher.
p = 1/(4a) = 1 / (4* Ein Fünftel) = 1,25
Somit ist B(5 | 1,25)
Für die Herleitung:
http://www.nibis.de/~lbs-gym/Verschiedenespdf/BrennpunktParabel.pdf
Hallo,
wenn ihr im Unterricht den Brennpunkt einer Parabel kennengelernt habt, dann habt ihr sicher die Koordinaten des Bennpunktes B der Parabel p(x) = ax²,
a ≠ 0 kennengelernt: sie lauten B(0; 1/(4a)).
Siehe "Parabel als Funktionsgraph" auf wikipedia:
https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_%28Mathematik%29#Parabel_als_Funktions-Graph
Es genügt also, durch Quadratische Ergänzung die Funktion f in der Form
f(x) = a(x-b)² + c zu schreiben.
Der Brennpunkt B(f) ist dann der Brennpunkt B(p) der Parabel p(x) = ax²,
um b Einheiten auf der x-Achse und um c Einheiten auf der y-Achse verschoben.
In deiner Aufgabe:
f(x) = 1/5 x² - 2x + 3 = 1/5(x²-10x+15) = 1/5[ (x - 5)² - 10 ] = 1/5 (x-5)² - 2
Die Parabel f ist also die Normalparabel x → x², mit dem Stauchfaktor a = 1/5,
um 5 Einheiten auf der x-Achse nach rechts verschoben, um 2 Einheiten
auf der y-Achse nach unten verschoben.
Der Brennpunkt B(q) der Parabel q(x) = 1/5 x² (a = 1/5) hat die Koordinaten
(0; 1 / (4×1/5) = (0; 5/4)
Wir müssen also den Brennpunkt B(q) um 5 Einheiten nach rechts auf der
x-Achse und um 2 Einheiten nach unten auf der y-Achse verschieben, um
die Koordinaten von B(f) zu erhalten:
B(f) : (0+5; 5/4 - 2) = (5; 5/4 - 8/4) = (5; -3/4)
Man erhält den Brennpunkt auch, wenn man eine Gerade g parallel zur y-Achse, die die Parabel im Punkt P schneidet, an der Tangente t der Parabel in P spiegelt, und die gespiegelte Gerade mit der Geraden schneidet, die parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt geht.
Siehe Bild, wo man das Ergebnis auch mit Hilfe der Tangentenkonstruktion überprüfen kann.
Gruß
Unter folgendem Link findest du alles Wichtige zum Thema Parabeln. Hat mir im Studium auch geholfen: https://www.mathebibel.de/parabel-zeichnen