Frage von IchFragDannEuch, 53

Wie löse ich diese Aufgabe zu Logarithmusfunktionen?

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Die subjektiv empfundene Lautstärke L ist zur objektiven Schallintensität l nicht direkt proportional, sondern es herrscht folgender Zusammenhang:

L(l) = 10 * 10log(l [l/10^-12]) (wobei die Basis vom Logarithmus 10 ist; in unserem Gymnasium verwenden wir diese Schreibweise)

(und bei dem Ausdruck (l [l/10^-12]) müsste es sich glaube ich um eine gemischte Zahl handeln... also ein ganzes l und ein l/10^-12 -tel)

a.)...Prüfe nach, dass eine Verzehnfachung der Schallintensität (also halt l) stets zu einer Lautstärkenerhöhung (L) um 10 Dezibel führt (L(l) in Dezibel und der Rest in Watt/m^2, aber das ist ja nebensächlich)

Ich kann mir ja immer das Zehnfache ausrechnen und dann sehe ich ja, dass es stimmt, aber wie kann ich das prüfen?

Außerdem habe ich noch eine Frage:

b.)...Durch die Verwendung von Flüsterasphalt kann Verkehrslärm ungefähr um 5 Dezibel reduziert werde. Um wie viel Prozent nimmt die Intensität des Verkehrslärms durch Einsatz dieser Lärmschutzmaßnahmen ungefähr ab?

(also bei der Frage verstehe ich nur Bahnhof)

Hoffe, dass es wen gibt, der mir helfen kann und sich die Zeit dafür nimmt, die Frage zu lesen! :) Ihr müsst mir auch nur den Rechenweg vorgeben, den Rest kann ich schon selber machen :)

Hoffe, die Frage war halbwegs verständlich gestellt, danke für alle Antworten! :)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Physik, 17

a): Prüfen kannst du das anhand der Logarithmengesetze: Du ersetzt l überall durch 10 l und zeigst mithilfe der Logarithmengesetze, dass L(10 l) = L(l) + 10 dB ist.

(Bei der Form, in der du die Formel angegeben hast, bekomme ich L(10 l) = L(l) + 20 heraus - also ist entweder eine Einheit hier 1/2 dB, oder du hast dich irgendwo beim Abschreiben vertan)

b): Hierzu betrachtest du die Intensitäten l_0 (normaler Asphalt) und l_f (Flüsteralphalt); dann ist L(l_f) = L(l_0) - 5 dB

Abnahme in Prozent = ((l_0 - l_f) / l_0) * 100%

Hierzu brauchst du nur das Verhältnis l_f / l_0; dieses bekommst du aus der Umkehrung der Beziehung zwischen Lautstärke und Intensität. (Auflösen nach l)

(Verwendet ihr wirklich ein kleines L statt eines großen i für die lntensität?)

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Des Physikers Tirade:

Übrigens habe ich die Erfahrung gemacht, dass ich auch in der Mathematik viel besser mit den Gleichungen klarkomme, wenn ich die Einheiten dort verwende, wo sie hingehören, und gar nicht erst mit dem Unsinn von reinen Zahlenwerten und als Erklärung "in [Einheit]" dazu anfange. (Auch in der Geometrie hilft es, viele Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden, wenn man z. B. den Strecken eine abstrakte Längeneinheit gibt.)

Das hieße hier (Formel nach Vermutung geändert):

L(I) = 10 dB * 10Log(I / I_Hörschwelle)

sodass die Einheit für L schon in der Gleichung steht und die Einheit für die Intensität erst dann eingeführt wird, wenn sie auch tatsächlich gebraucht wird - die Gleichung ist von der Einheit der Intensität völlig unabhängig.

Durch dieses Vernachlässigen der Einheiten machen sich die Mathematiker das Leben unnötig schwer.

Kommentar von IchFragDannEuch ,

Danke vielmals! :) Ich glaube, ich verstehe die Aufgabe jetzt!

Wirklich nett von dir und auch gute Tipps, die ich in Zukunft sicherlich befolgen werde!
Und ja, ich glaube das kleine l ist in Wahrheit ein großes I... Ups, den Zusammenhang hätte man mit etwas mehr Intelligenz sicherlich herausfinden können, aber du hast mich ja darauf hingewiesen xD

Danke nochmals :)

Antwort
von poseidon42, 12

Zu aller erst die Logarithmusgesetze:

http://www.formelsammlung-mathe.de/logarithmus.html

zu a):

Zeige das gilt:

L(I*10) = L(I) + 10 dB  oder umgeformt    L(I*10) - L(I) - 10dB = 0

zu b):

L(I) - 5 dB = L(I´)

Löse diese Gleichung nun nach I´ auf, das Verhältnis beträgt schließlich:

k = ( I´)/( I )   mit k als Verhältnis

Dabei ist I die Intensität welche ohne "Flüsterasphalt" auftreten würde und I´ dementsprechend die, welche mit "Flüsterasphalt" auftritt.

Mehr kann ich leider nicht helfen, da deine Gleichung so einfach recht unverstädnlich ist.

Kommentar von IchFragDannEuch ,

Danke vielmals!

Ist jetzt verständlich, großes Danke, von alleine wäre ich da nicht so schnell drauf gekommen! :)

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