Hilfe bei diesen Matheaufgaben (Gleichungen,Logarithmen)?
a)
b)
c)
Danke!<3
7 Antworten
a)
in der Klammer steht
(x +- ? )
-3x² * ? = 24x²
? = -8
also
( x - 8 )
b)
log
mx-p * log(a) = nx-q * log(b)
mx - nx = p*log(a) -q*log(b)
x( m-n ) =
c)
teilen durch rechts oder links
7^(6x+3-21+3x) = 1
7^(9x-18) = 1
(9x-18)*log(7) = log(1)
9x*log(7) - 18*log(7) = log(1)
x = [ log(1) + 18*log(7) ] / ( 9*log(7) )
f(x)=-3*x³+27*x²-17*x-56 Nullstellen mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)
x1=-1,1072... und x2=2,1072.. x3=8
(-3*x³+27*x²-17*x-56) : (x-8)=-3*x²+3*x+7
-(-3*x³+24*x²)
3*x²-17*x
-(3*x²-24*x)
+7*x-56
-(7*x-56)
0+0
zu c) 7^(6*x+3)=7^(21-3*x) Substitution z=3*x
7^(2*z+3)=7^(21-z) dividiert durch 7^(21-z)
7^(2*z+3)/7^(21-z)=1
Potenzgesetz a^r/a^s=a^(r-s)
7^(2*z+3-(21-z)=7^(2*z+3-21+z)=7^(3*z-18)=1 logarithmiert
ln(7^(3*z-18))=3*z-18)*ln(7)=ln1)=0 siehe Logarithmengesetz log(a^(x)=x*log(a)
3*z-18=0/ln(7)=0
3*z=18
z=18/3=6
Rücksubstitution z=3*x=6 ergibt x=6/3=2
Probe: 7^(6*2+3)=7^(15)=7^(21-3*2)=7^(15) stimmt also
zu b) a^(m*x-p)=b^(n*x-q)
Potenzgesetz a^r*a^s=a^(r+s)
a^(m*x-p)=a^(m*x)*a^(-p)=a^(m*x)*1/a^(p)
Potenzgesetz a^(n)=1/a^(-1*n) oder a^(-1*n)=1/a^n
a^(m*x)*1/a^(p)=b^(n*x*1/b^(q)
a^(m*x)=b^(n*x)*a^(p)/b^(q) Hilfskonstante c=a^(p)/b^(q)
a^(m*x)=b^(n*x)*c logarithmiert
ln(a^(m*x))=m*x*ln(a)=ln(b^(n*x))+ln(c) siehe Logarithmengesetz
log(u*v)=log(u)+log(v) und log(a^(x))=x*log(a)
m*x*ln(a)=n*x*ln(b)+ln(c)
m*x*ln(a)-n*x*ln(b)=ln(c)
x=ln(c)/(ln(a)-ln(b)
Hinweis:Kannst auch den Logarithmus mit der Basis 10 nehmen.
x=log(c)/(log(a)-log(b)
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
ei a) musst du dir überlegen was in der mitte steht.
dazu überlegst du -3x^2 mal was -3x^3+24x^2 ergibt :-)
oder rechnest es direkt aus :-)
da du dann den term in der mitte kennst, kannst du damit auch ie polynomdivision zu ende bringen.
b) ln, dann kriegst du die potenzen raus,.
c) kannst du direkt die potenzen vergleichen bzw. gleichsetzen.
ist ja die selbe basis :-)
Hi,
a)
Hier handelt es sich um eine Polynomdivision mit unbekanntem Divisor !
Allgemein: Wenn a/b=c gilt auch a/c=b (sozusagen die Umkehr).
um den Term in der 2.Zeile zu erzeugen wurde die Gleichung also durch (-3x^3+24x^2)/(-3x^2)= (x-8) geteilt, denn (x-8)*(-3x^2)= -3x^3+24x^2.
Die weitere Rechnung überlasse ich Dir
b)
Einfach die Gleichung logarithmieren, dann hat man nur noch eine simpele Gleichung, in der Log(a-b) nur als Faktor auftritt.
(mx-p)log(a) = (nx-q)log(b)
(mx-p)log(a)/log(b) = nx-q
(mx-p)log(a-b) = nx-q
m*log(a-b)*x-p*log(a-b) = nx-q
(m*log(a-b)-n)*x = p*log(a-b)-q
x=(p*log(a-b)-q)/(m*log(a-b)-n)
c)
Wie bei b) erhählt man durch logarithmieren eine einfache Gleichung:
(6x+3)*Log(7) = (21-3x)*Lög(7) [ /Log(7) ->
6x+3 = 21-3x
Die Lösung dieser Gleichung brauche ich hier wohl nicht explizit erläutern.
MFG automathias
a) hier muß man eine Nullstelle durch probieren herausfinden,wenn man keinen Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einen habe ,hat.
1) Schritt:eine Wertetabelle aufstellen mit den x-Werten von x=-10 bis x=10 Schrittweite Step=1 meistens reicht das
2) dann die Wertetabelle auf Vorzeichenwechsel prüfen.Findet ein Vorzeichenwechsel statt,so liegt mindestens zwischen den beiden x-Werten eine Nullstelle.
Hinweis:Es gibt auch Funktionen,wo der Graph die x-Achse nur berührt.Hier muß man darauf achten,ob der Graph sich der x-Achse nähert und dann wieder entfernt ohne das ein Vorzeichen wechsel stattfindet.
Sind die Nullstellen keine ganzen Zahlen,so wendet man die Näherungsformeln von Newton (Tangentenverfahren) oder Regula falsi (Sehenverfahren) an.
Durch probieren ermittelt man näherungsweise ein Nullstelle und verbessert dann diesen Wert mit der Formel von Newton oder Regula falsi.
Die Formel (Näherungsformel) wird mehr mals angewendet,bis die Genauigkeit ausreicht und dann bricht man ab.
Nachteil bei Nullstellen,die keine ganzen Zahlen sind:
Bei der Polynimdivision geht die Rechnung nicht glatt auf.
Bedeutet das
-3*x³+27*x²-17*x-56=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*a
Und das funktioniert immer ?
Diesen Rechenweg habe ich nicht in meinem Mathe-Formelbuch .
Ich habe da nur die "Cardanische Lösungsformel" und die Rechnung ist auf jeden Fall aufwendiger und birgt ein hohes Risiko für Rechenfehler.
bei a) geht es einfacher ................... ich würde das Koeffizientenvergleich nennen