Wie Löse ich diese 2 Aufgaben ( Mathematik exponentieller Wachstum)?
Guten Abend,
ich verstehe diese 2 aufgaben nicht so genau, kann sie deshalb jemand erklären?
Aufgabenstellung :
Vor 10 Jahren betrug der Holzbestand eines Waldes 7000 m³. Ohne Schlägerung ist er inzwischen auf 9880 m³ angewachsen. Man darf annehmen, dass das Holzwachstum ein exponentieller Vorgang ist.
a) Zeige, dass die jährliche Wachstumsrate ca. 3,5 % beträgt.
b) Berechne die Zeitspanne, gerundet auf ganze Jahre, innerhalb der sich der Holzbestand ungefähr verdoppelt bzw. verdreifacht (ausgehend vom aktuellen Bestand).
Danke im Voraus
3 Antworten
heute t=0
vor 10 Jahren: t=-10
exponentielles Wachstum: f(t)=f(0)*q^t alternativ auch f(t)=f(0)*e^(k*t)
q ist der Wachstumsfaktor
laut Aufgabe gegeben: f(-10)=7000 und f(0)=9880
mit diesen beiden Angaben kann folgende Gleichung aufgestellt und dann der Wachstumsfaktor q berechnet werden:
9880*q^(-10)=7000
q ^(-10)=0,708...
q=0,708^(-1/10)=1.035
ein Wachstumsfaktor von 1.035 entspricht einem jährlichen Wachstum von 0,035 = 35/1000 = 3,5%
Verdoppelung:
2*f(0)=f(0)*1,035^t
der Anfangsbestand f(0) kann rausgekürzt werden, d.h. die Verdoppelungszeit ist nicht vom Anfangsbestand abhängig
2=1,035^t
t=log_1,035(2)=20,1... also rund 20 Jahre
alternativ auch t=ln(2)/ln(1,035)
a) So ginge es auch:
Anfangsbestand vor 10 Jahren : 7000 m^3
Wachstumsfaktor 1,035
Heutiger Bestand:
f(10) = 7000 m^2 * 1,035^10 = 7000 m^3 * 1,41 = 9874 m^2
Damit ist der Zuwachs von ca. 3,5 % jährlich bestätigt.
b)
Ansatz:
1,035^x = 2
ln 1,035^x = ln 2
x * ln 1,035 = ln 2
x = ln 2 / ln 1,035 = 0,6931 / 0,0344 = 20,1 ≈ 20 Jahre
1,035^x = 3
ln 1,035^x = ln 3
x * ln 1,035 = ln 3
x = ln 3 / ln 1,035 = 31,9 ≈ 32 Jahre
Diese Variante als drittes ( dreimal ist Bremer Recht )
Verfahren : Zinsrechnung . so tun als ob 7000 Euro verzinst werden
.
7000 * q^10 =9880
q = zehnteWurzel(9880/7000) = 1.035061
mal 100 und minus 100 ist dann 3.5061%
.
.
9880*1.03506^n = 2*9880
mit log
n * log(1.03506) = log(2*9880/9880) = log(2)
n = log(2)/log(1.03506) = 20.1148 Jahre .
.
Kleiner Hinweis : Jedes Anfangskapital ,welches mit 3.5% verzinst wird , verdoppelt sich nach 20 Jahren .
bei der Verdreifachung sind es dann ca 32 Jahre, weil 3 = 1,035^t
dann t=31,935...