Wachstumsprozesse?
Hallo, kann mir jemand bei Aufgabe 3 helfen? Wie muss ich es dort machen?
4 Antworten
Hallo,
steht doch da. Das Wachstum mithilfe einer e-Funktion modellieren.
Hier wäre es dann wohl f(t)=a*e^(k*t).
a ist die Fläche zu Beginn, also 1,5 (cm²).
t ist die verflossene Zeit in Tagen, k muß ermittelt werden.
Allerdings fehlt eine wichtige Angabe, nämlich auf welchen Zeitraum sich das Wachstum um 15 % bezieht. Ohne diese Angabe ist die Aufgabe schlicht nicht lösbar.
Man könnte höchstens vermuten, daß es sich um 15 % Wachstum pro Tag handelt und auf der unsicheren Basis dieser Vermutung weitermachen.
Dann hast Du nach einem Tag, also für t=1 eine Fläche von 1,5 cm²*1,15=1,725 cm².
Du mußt also die Gleichung 1,5*e^(1*k)=1,725 nach k auflösen (Logarithmus!) und bekommst f(t). Für den Zeitpunkt der Verdoppelung löst Du die Gleichung
1,5*e^(kt)=3 bzw. e^(kt)=2 nach t auf, was nun, da k bekannt ist ohne Probleme zu machen ist.
Für die Fläche nach 10 Tagen setzt Du für t einfach eine 10 in die Gleichung ein.
Korrektur: Ich hatte überlesen, daß die Wachstumsgeschwindigkeit bei t=10 gesucht ist. Die ermittelst Du natürlich über die Ableitung, also über f'(10).
Herzliche Grüße,
Willy
Das Wachstum soll wohl 15% pro Tag sein...
allgemeine Form der Exponentialfunktion: f(t)=a * q^t; a=Startwert, q= Wachstumsfaktor
Hier gilt a=1,5 cm² und q=1,015, also f(t)=1,5 * 1,015^t
1,015^t kann man schreiben als e^(ln(1,015^t)), und das ist e^(t*ln(1,015)).
Der Rest sollte kein Problem sein, wenn die Aufgabe davor erfolgreich war...
Wachstumsfunktion mit Basis e:
f(0) ist der Anfangswert, der ist gegeben
wenn die Fläche in einer Zeiteinheit (vermutlich in einem Tag) um 15% wächst, dann ist f(1)=1,15*f(0), der Wachstumsfaktor also 1,15
dann ist
daraus kannst du dann das k durch logarithmieren berechnen
nach der Verdoppelungszeit ist f(T2)=2*f(0)
Wachstumsgeschwindigkeit ist eine Änderung des Wachstums, also wird diese mit der Ableitung berechnet f'(10)
Ich fange an mit keiner e-Funktion, sondern einer Wachstumsfunktion in der Form:
f(x) = b * a^x
b ist der Startwert, hier b = 1,5 cm²
Wachstum ist r = 15% = 0,15
Dabei ist a = 1 + r
Also a = 1,15
Alles einsetzen: f(x) = 1,5 * 1,15^x
Daraus mache ich eine e-Funktion die deckungsgleich ist der Form g(x) = b * e^(kt)
f(x) = g(x)
1,5 * 1,15^x = b * e^(kx)
Der Startwert b bleibt gleich mit b = 1,5
1,5 * 1,15^x = 1,5 * e^(kx)
Teilen durch 1,5
1,15^x = e^(kx)
Den nächsten Schritt kann ich nicht begründen, warum man das x bei ungleicher Basis entfernen kann.
1,15 = e^k
k = ln(1,15) / ln(e) dabei ist ln(e) = 1
k = ln(1,15)
Die e-Funktion heißt g(x) = 1,5 * e^(x * ln(1,15))
q = 1,15