Wie kommt man auf den Abstand zwischen Punkt und Ebene?
Diese Frage scheint einfach, aber wenn wir denken wir den Abstand errechnet sagt die Lösung etwas anderes.
Kann uns bitte jemand helfen und sagen, wie man hier auf den Abstand d=1 kommt?
Meine Klassenkameraden und ich scheitern seit über einer halben Stunde an dieser Aufgabe 😤
Zudem frage ich mich, wie bei dieser Aufgabe vorgegangen werden muss. Ich berechne bei Aufgabe a) die Strecken AC und AB und berechne den Winkel zwischen den Vektoren. Das gleiche mache ich mit BA und BC.
Leider stimmen auch hier meine Ergebnisse nicht mit denen in den Lösungen überein. In den Lösungen wird von einem Rechten Winkel geredet, den ich bei mir nirgends finden kann.
Bei b), c) und d) ist mir unklar, wie ich vorgehen sollte, könnte mir das jemand erklären? Bei b) würde ich zunächst den Flächeninhalt eines Vierecks berechnen und diesen dann durch 2 teilen. Da ich jedoch in Aufgabenteil a) keinen 90 grad Winkel errechnet bekomme scheint mir der Lösungsweg keine Option zu sein…
Ich danke für jede Antwort! 🙏
Es ist nur eine kleine Frage -
b), c) und d) scheinen leicht machbar. Aber bei der 6 a) Wüsste ich nicht, wie ich die Punkte S1 und S2 herausfinden könnte.
Nochmals vielen Dank für die Hilfe 🥹
Wie komme ich hier auf die Ebenengleichung von der sie in Aufgabe c) reden? und wie komme ich auf die Pyramide PQRD von Aufgabe d)?
Hier die Lösungen:
2 Antworten
Die Koordinatenform der Ebene
E: 2x₁ – x₂ + 2x₃ = 0
können wir auch in die Normalenform
E: (2 | –1 | 2) • x = 0
und anschließend in die Hessesche Normalenform bringen
E: 1/3 • (2 | –1 | 2) • x = 0
In diese Form kommt man, wenn man den Kehrwert des Betrages des Normalenvektoren als Skalar des Normalenvektors nimmt, sodass dieser normiert ist, also die Länge Eins hat.
|(2 | –1 | 2)| = √(2² + (–1)² + 2²) = √(9) = 3
Setzen wir nun den Punkt R ein, erhalten wir
1/3 • (2 | –1 | 2) • (–2 | 3 | 5)
= 1/3 • (–4 + (–3) + 10)
= 1/3 • 3
= 1 [LE]
Der Punkt R liegt also eine Längeneinheiten von der Ebene E entfernt.
Alternativ hätte man auch direkt die Koordinatenform mit dem Betrag des Normalenvektors dividieren können und man kommt auf das selbe Ergebnis.
E: (2x₁ – x₂ + 2x₃)/3 = 0
R eingesetzt liefert auch
(2•(–2) – 3 + 2•5)/3
(–4 – 3 + 10)/3
3/3 = 1 [LE]
Bitteschön ;)
______________
Ergänzung:
Ignorier einfach das durchgestrichene xD
P - Abstand * Einheitsnormalenvektor
(Der Abstand ist vorzeichenbehaftet; wenn P auf derjenigen Seite von E liegt, in die der Vektor zeigt, ist der Abstand positiv ("positive Seite von E"), wenn P auf der gegenüberliegenden Seite von E liegt, negativ ("negative Seite von E"))
(-2; 3; 5) - 1 * 1/3 (2; -1; 2)
Das ist ganz einfach. Wir wissen, dass der Abstand von der Ebene E zum Punkt R genau ein Längeneinheit beträgt.
Wenn wir zum Punkt R gehen, können wir diese eine Einheit direkt zur Ebene gehen. Das geht parallel des Normalenvektors. Wenn wir den normierten Normalenvektor (mit der Länge Eins) nehmen, müssen wir vom Punkt R mur diese eine Einheit entlang dieses Vektors gehen. Der normierte Normalenvektor ist ⅓•(2 | –1 | 2). Der ist wegen dem Skalar ⅓ normiert, da das der Kehrwert seiner Norm (Länge) ist. So ist seine Länge jetzt genau Eins.
Wir nutzen nun einfach die Vektoraddition, um zum Lotfußpunkt zu kommen.
(–2 | 3 | 5) – ⅓•(2 | –1 | 2)
= (–8/3 | 10/3 | 13/3)
Hier müssen wir den normierten Normalenvektor aber subtrahieren, da der Punkt R über der Ebene liegt (weiter vom Nullpunkt entfernt ist, als der Lotfußpunkt - der Abstand zur Ebene von R ist nämlich größer Null).
Verstanden?
Ja, verstanden! Vielen Dank nochmal!
Leider hat sich mir in der Zwischenzeit ein weiteres Problem ergeben 😅
Falls du Zeit haben solltest würde ich dich bitten mir auch dabei weiter zu helfen.
Ich habe meine Frage um die neue Problematik ergänzt (siehe oben in Fragestellung).
Wir schreiben morgen früh eine Klassenarbeit und darum bin ich auf jede Hilfe angewiesen, die ich bekommen kann 😬
n_Vektor = (2│-1│2) ; │n_Vektor│ = √(2² + (-1)² + 2²) = 3
d = │(2 * (-2) + (-1) * 3 + 2 * 5 - 0)│ / 3 = 1
Hey, weißt du vielleicht auch wie wir den Lotfußpunkt berechnen können?
Wir brauchen ihn eventuell als Zwischenergebnis. Er ist auch in der Frage (oben) gegeben.