Wie kommt man auf A = Pi • r²?
Hallo,
Ich wollte Fragen, wie man auf A = Pi • r² kommt. Ich war letzte Stunde krank und das haben wir als Hausaufgabe aufbekommen, deshalb wollte ich Fragen warum das so ist.
Danke schonmal!!!!
4 Antworten
Das nennt man die Quadratur des Kreises.
Dann nenn es die Näherung der Quadratur des Kreises. Oder der Quadratur des Kreises mit irrationalen und transzendenten Maßstäben...
Hallo,
der Flächeninhalt des Kreises wird durch n gleichschenklige Dreiecke mit Radius r und den jeweilige Kreissehnen als Grundseite angenähert. Geht n gegen unendlich, bleibt pi*r² als Grenzwert.
Jedes dieser Dreiecke hat den Radius als Schenkel und eine dazugehörige Kreissehne a als Grundseite. Der Winkel zwischen den beiden gleichen Schenkel ist
2pi/n. Für die Berechnung einer Dreiecksfläche ziehst Du noch eine Höhe h ein, die die Grundseite genau mittig teilt und gleichzeitig Winkelhalbierende des Zentriwinkels ist.
Der Sinus dieses halben Winkels pi/n ist dann (a/2)/r, der Kosinus ist h/r, so daß
a/2=r*sin (pi/n) und h=r*cos (pi/n).
Da A=(a/2)*h, ist A=r*r*sin (pi/n)*cos (pi/n). Nach einem der Additionstheoreme gilt
sin(x)*cos(x)=(1/2)sin (2x), so daß Du die Flächenformel eines der Dreiecke zu
r²*(1/2)sin (2pi/n) umwandeln kannst.
Da es n dieser Dreiecke gibt, kommst Du für die angenäherte Kreisfläche auf
n*(1/2)*sin (2pi/n).
Je größer n wird, desto kleiner wird das Argument des Sinus. Für sehr kleine x gilt aber: sin (x)=x, so daß Du die Formel zu (1/2)n*r²*2pi/n umschreiben kannst.
Da sich die 2 und n wegkürzen, bleibt pi*r² als Gesamtfläche unendlich vieler dieser Dreiecke und damit der Kreisfläche als renzwert für n gegen unendlich übrig.
Herzliche Grüße,
Willy
Man kann mithilfe der Funktion √(r²-x²) einen Halbkreis mit Radius r um den Ursprung erhalten. Um nun die Fläche dieses Halbkreises zu erhalten, kann man ein Integral benutzen. Man will also folgendes Integral bestimmen:
int √(r²-x²) dx
Nun substituiert man x=r*sin(u), dann ergibt sich dx=r*cos(u) du:
=int √(r²-r²*sin(u)²)*r*cos(u) du
=r² * int √(1-sin(u)²)*cos(u) du
Und nach sin²+cos² = 1 erhält man:
=r² * int cos(u)² du
cos(u)² lässt sich umformen zu:
=r² * int (1/2*cos(2u)+1/2) du
Nun die Stammfunktion bestimmen:
=r² * (1/2*sin(2u)+1/2u)
Nun möchte man das Integral von x=-r bis x=r haben, daher muss man hier nun u=-π/2 bis u=π/2 nehmen. Setzt man die Grenzen ein, bekommt man den halben Flächeninhalt:
A/2 = [r² * (1/2*sin(2*π/2)+1/2*π/2)] - [r² * (1/2*sin(-2*π/2)-1/2*π/2)] = r² * π/2
Somit
A = π*r²
Das ist einfach so. Der Flächeninhalt eines Kreises ist Pi * r². Meines Wissens muss man nicht wissen warum genau 3,1415926... usw.. * r²
wat ? Quadratur des Kreises ist etwas, was noch nie gefunzt hat.