Wie kann mit dem Epsilon Delta Kriterium gezeigt werden, dass 1-x^3 stetig ist?
2 Antworten
f ist an x stetig, wenn für alle e>0 ein d>0 gibt, sodass für alle y, die |x-y|<d erfüllen, gilt:
|f(x)-f(y)| < e
Schreibe zunächst |f(x)-f(y)| um, und schätze es ab:
|f(x)-f(y)| = |y^3-x^3|=|(x-y)(x^2+xy+y^3)| <= |x-y|*|x^2+xy+y^2| <= d*(|x^2|+|xy|+|y^2|)
(Mach dir klar, warum die Umformunsschritte und Abschätzungen gelten).
Nimm nun zusätzlich an, dass d<1 gilt (warum darfst du das?)
Daraus folgt: |y| < |x| +1 (wieso?)
Nutze diese abschätzung um (|x^2|+|xy|+|y^2|) nach oben abzuschätzen, wobei die Abschätzung nur von x abhängen soll.
Bestimme nun damit d in Abhängigkeit von e. Beachte dabei, dass du noch angenommen hast, dass d<1 gelten muss.
Wenn du das ganze am Ende korrekt Abschätzt, erhälst du die Ungleichung:
|f(x)-f(y)| <= d*(Term der Nur von x abhängt)
Du willst ja am Ende d so wählen, sodass
|f(x)-f(y)| <e gilt.
Stelle also die Ungleichung d*(Term der Nur von x abhängt) < e nach d um, und du hast ein passendes d. Beachte aber wie gesagt, dass du noch angenommen hast, dass d < 1 gelten muss.
Sind f,g stetig, so auch f+g und f·g.
Dürft ihr das etwa nicht benutzen?
Nun ist x→x stetig (echt trivial), also auch x→x² (wende das Obige auf f=g : x→x an) also auch x→x³ (wende das Obige auf x→x² und x→x an).
Damit ist auch x→-x³ stetig. Da auch x→1 stetig ist, folgt, wieder mit dem Obigen, diesmal auf die Summe angewandt, daß
x→1 - x³
stetig ist.
Der Sinn solcher Sätze, dass die Summenfunktion und die Produktfunktion von stetigen Funktionen stets wieder stetig ist, ist es, in Fällen wie x → 1-x³ nicht auf die Ur-Definition zurückgehen zu müssen. Sag' das bitte deinem Dozenten, da er das offenbar nicht weiß; denn sonst würde er eine solche schwachsinnige Aufgabe nicht stellen.
Die Umformungen sind mir klar aber wie ist das Delta in Abhängigkeit von Epsilon zu wählen?