Wie kann man sich die Faltung in der Mathematik anschaulich vorstellen?
wie hat man sich das genau vorzustellen? Ich lese ständig etwas von der Spiegelung der Gewichtsfunktion, aber wenn ich ein Rechteck spiegele, komme ich immer noch nicht auf ein Dreieck...
1 Antwort
Wikipedia sagt:
> Anschaulich ist {\displaystyle (f*g)(x)} der gewichtete Mittelwert von {\displaystyle f}, wobei die Gewichtung durch {\displaystyle g} gegeben ist. Der Funktionswert {\displaystyle f(\tau )} wird dabei mit {\displaystyle g(x-\tau )} gewichtet. Dadurch erhält man für jedes {\displaystyle x} einen anderen gewichteten Mittelwert. Die resultierende „Überlagerung“ zwischen {\displaystyle f} und einer gespiegelten und verschobenen Version von {\displaystyle g} kann z. B. verwendet werden, um einen gleitenden Durchschnitt zu bilden.
Zum Veranschaulichen kannst du für g mal ein paar Spezialfälle einsetzen. Zum Beispiel die Dirac-Distri bei x0=0. f gefaltet damit ist... einfach wieder f. Und Dirac bei x0=+1?
Weiter: g==1. f gefaltet damit ist eine konstante Funktion, nämlich überall $int f(tau) dtau$. Auch klar: g macht eben alles gleich platt, unabhängig von x.
Jetzt könnte man sich mal vorstellen, was passiert, wenn g fast eine Dirac-Verteilung ist; z.B. eine Glockenfunktion mit geringer Standardabweichung. Dann ist f*g fast f, aber etwas abgeplattet, denn an jeder Stelle x werden auch die umliegenden Funktionswerte einbegriffen.