Wie kann man einen Funktionsgraphen um 90° drehen?
hallo,
ich würde gern wissen, wie man eine Funktionsgleichung ändern muss, damit ihr Funktionsgraph um 90° gedreht ist. Gibt es da eine allgemeine Vorgehensweise??
Beispiel: f(x) = x^2 --> g(x) = x^(0,5) f(x) = x^6 --> g(x) = x^(1/6)
Was aber muss ich bei einem allgemeinem Polynom folgender Form tun?
f(x) = ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) +...+ dx^2 + e*x + f (allgemeines Polynom vom Grad n)
Danke schon einmal im voraus.
Ich hoffe, dass das Problem verständlich ist!
3 Antworten
Wenn du eine Funktion um 90 Grad drehen willst, und es soll wieder eine Funktion enstehen, dann musst du die Funktion selbstverständlich auf einen bijektiven Bereich einschränken.
In diesem Fall ist die um 90 Grad gedrehte Funktion von f(x) einfach f'(x) = f^(-1)(-x).
Beispiel: f(x)=x^2.
Die um 90 Grad gedrehte Funktion des rechten Astes der Parabel ist einfach d(x)= wurzel(-x).
Man kann dies folgendermaßen einsehen:
Man schreibt die Funktion f(x) am besten in der Parameterdarstellung f(t) = (x(t)|y(t)). Wegen x(t)=t ergibt sich f(t) = (t|y(t)).
Die Koordinaten des Punktes (x'|y'), welcher aus (x|y) durch Drehung um 90 grad hervorgeht, sind (x'|y')=(-y|x) (Das ' soll nicht die Ableitung sein, sondern das gedrehte Bild symbolisieren).
In die Funktionsgleichung eingesetzt ergibt sich:
f'(t) = (-x'(t)|y'(t)) = (-y(t)|x(t)) = (-y(t)|t).
Dies ist die Parameterdarstellung der gesuchten und gedrehten Funktion.
Will man jetzt die üblich Form haben, dann muss man die x-Koordinate in das ursprüngliche t transformieren. Dazu wendet man die (wenn vorhandene!) Umkehrfunktion y^(-1)(t) auf die Funktion -f'(t) an. (Da durch die bijektive Funktion der Parameter t lediglich gestaucht oder gestreckt wird, ändert sich die Funktion als solche nicht).
=> f'(t) = (y^(-1)(y(t))|y^(-1)(-t))
= (t|y^(-1)(-t)).
Damit ergibt sich
f'(x) = -f^(-1)(-x).
Die Variablen x und y vertauschen.
Geht bei: f(x) = ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) +...+ dx^2 + e*x + f
nicht.
nein, das ist eine spiegelung an der ersten winkelhalbierenden. für ne drehung kenn ich leider keinen königsweg...
Wenn Du um 90° drehst, hast Du genau x und y vertauscht. Also ist die allgemeine Vorgehensweise, in der Formel x und y tauschen und wieder nach y auflösen. Letztendlich ergibt das die Umkehr-Relation, die nicht unbedingt eine Funktion sein muss.
Genau genommen ist die Arbeit schon mit dem Vertauschen von x und y getan. Aber so ist es halt nicht die gewohnte Darstellung.
Das ist im allgemeinen falsch. Die Umkehrfunktion bzw. Relation ist keine Drehung um 90 Grad, sondern eine Spiegelung an y=x.